Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 18 из 27)
8. Средние значения динамических переменных
Мы уже видели, что теория отказывается предсказывать, что мы получим в результате измерения той или иной величины, она предсказывает лишь вероятности того, что будет получено то или иное значение. В связи вот с этим вероятностным характером возникает вопрос, каково среднее значение переменной? Ответ на это простой. Пусть мы имеет какую-то переменную A, и этой переменной соответствует оператор
, тогда среднее значение переменной A в состоянии 
(угловыми скобками будем обозначать) будет определяться так: 
.Откуда берётся такой результат? Пусть
, т.е. 
– собственные векторы оператора , а an – соответствующие собственные значения. Вектор можно представить в виде разложения по собственным векторам оператора : 
. Тогда 
=
а
– это вероятность получить при измерении переменной A в состоянии значение an. Возможные значения умножаются на вероятность и суммируются по всем возможным значениям, а это то, что в математике называется математическое ожидание, это и есть среднее значение данной величины.9. Изменение 
со временем
Если состояние меняется со временем, это означает, что среднее значение тоже может меняться со временем. Напишем:
(это уравнение движения, пятый постулат) 
(это сопряжённое уравнение) 
И это изобразится, наконец, так:
12
Будем считать, что
, тогда 
.Если
, то 
.В координатном представлении:
Связь с классической механикой
, 
Где классическая механика верна? Там, где можно пренебречь соотношениями неопределённостей! 
(
отлична от нуля в маленькой области)10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
Пусть
, т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда 
. Гамильтониан в координатном представлении имеет вид 
. Пишем уравнение на собственные векторы: 
В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид
,где
содержит слагаемые с производными по переменным 
и 
.Можно показать, что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют:
. Физически это означает, что L2 сохраняется. И 
тоже, значит операторы 
имеют общие собственные векторы.Положительно заряжённое ядро создаёт поле
или в более общем виде 
. Вектор 
, где 
, 
, 
, будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём 
Вектору
в координатном представлении отвечает функция 
.Стационарное состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n, l, m, эти числа определяют энергию En, момент и проекцию импульса соответствующие этому состоянию, при чём
. Это вследствие того, что 
.Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё
1)
, где n – номер орбиты,2)
.Из этих постулатов следует, что
и 
.