Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 19 из 27)

При Z = 1 (водород) и n = 1

.

11. Система тождественных частиц

Пусть система состоит из N частиц, а её состояние задаётся вектором

тогда соответственно

(вероятность обнаружить

частицу в элементе объёма ) = .

,

,

где

.

В квантовой механике частицы одного сорта тождественны, принципиально неразличимы (рис. 11.1). Пусть у нас имеется две частицы, тогда

Как это может быть? Так как модуль вектора

постоянен, то вектор может только вращаться вокруг начала координат: . Из условия нормировки следует: , это выполняется только в двух случаях: и . Так как , возможны две ситуации:

1.

, волновая функция симметрична относительно перестановки пары тождественных частиц, такие частицы называются бозоны;

2.

, это фермионы.

Принцип Паули гласит, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии.

§7. Квантовая статистика

Ели мы при абсолютном нуле температуры будем кидать бозоны в одну энергетическую яму, а фермионы в другую, то картины будут различными: фермионы будут занимать различные энергетические уровни, а бозоны – первый.1)

Если теперь мы будем бозоны трясти, то они как-то распределятся по энергиям, фермионы тоже. Я приведу только результат.

1. Распределение Ферми (для фермионов)

Среднее число частиц при температуре T в определённом состоянии даётся формулой

где

– уровень Ферми или химический потенциал. Электроны в металле представляют идеальный фермионный газ.

2. Распределение Бозе (для бозонов)

14

Итак, среднее число частиц в состоянии

при температуре Tравно:

,

где

соответствует фермионам, – базонам.

3. Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям

Число частиц с энергиями в интервале

пропорционально : . Наша задача найти функцию распределения по энергиям .

Если мы найдём функцию g(E), тогда автоматически мы найдём и f(E), – число состояний, приходящихся на интервал энергий . Это можно условно так изобразить: на шкале энергий отдельные значения энергии (энергия меняется дискретно), число палочек в интервале энергий это как раз будет число состояний . Проблема теперь упирается в нахождение этой функции g(E).

Мы рассматривали частицу в ящике, и там были найдены возможные состояния, напомню, что любая тройка целых чисел

задаёт состояние с волновой функцией . Перебирая все тройки чисел, мы получим все возможные состояния. А теперь у нас задача такая: задать интервал энергии и перебрать все возможные состояния, энергия которых попадёт в этот интервал. Задача на первый взгляд страшно трудная, на самом деле решаемая и довольно элементарно. Можно было бы отталкиваться от решения для ящика, но применяется другой трюк более удобный.

Будем считать, что волновая функция частицы не такая, как там было найдено для частицы в ящике, а волновая функция имеет вид

с граничными условиями:1)

Это означает, что

Ну, и

- целые числа

Если б мы рассматривали свободную частицу в пространстве, любой вектор

был бы допустим, когда мы рассматриваем частицу в ящике, то не любые векторы задают состояния, а каждая компонента вектора должна быть кратной величине .

Векторы могут быть такими, как на рис.3.3, они дискретны, проекции вектора должны быть кратны числу . Мы имеем дискретный набор точек и теперь мы их можем считать. Мы видим, что на одно состояние в этом пространстве волновых чисел или k-пространстве приходится ячейка с объёмом .

А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m

. В k-пространстве энергии E отвечает сфера радиуса , и тогда все точки k-пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние.

Число состояний N_E с энергиями в интервале [0, E], будет равняться

, где V = L³

А тогда число состояний в интервале

мы получим просто дифференцированием:

Тогда число частиц, для которых

, равно