Анализ и обеспечение надежности технических систем (стр. 5 из 6)
Zn[β(x1, x2,…xi …xn)] =
(2.5)Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений - структурной функции параллельного соединения, - для 2-х элементов, может быть записана в виде:
β(x1, x2) = p1p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1+0] + q1p2[0+ Z2] + q1q2[0+0] =
p1p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1] + q1p2[Z2] + Q(β(x1, x2)) = 1. (2.5а)
Эквивалентный структурный элемент параллельного соединения будет содержать столько слагаемых, сколько различных состояний по пропускной способности может иметь этот эквивалент, поэтому в общем случае, не является бинарным.
Система параллельно соединенных элементов, в смысле надежности, будет находиться в состоянии отказа только тогда, когда пропускная способность системы будет ниже нагрузки. Для определения состояния отказа группы параллельно соединенных элементов суммарная пропускная способность r = (п-т)работоспособных элементов, характеризующих данное состояние (mэлементов при этом находится в отказе):
Zr[β(x1, x2,…xi …xn)] =
, (2.6)сопоставляется с мощностью нагрузки ZH. Если Zr< ZH, то, в данном состоянии, имеет место отказ электроснабжения потребителя.
Конечной целью преобразований структурной функции является приведение некоторой достаточно сложной схемы объекта к одному эквивалентному элементу путем конечного числа операций эквивалентных преобразований последовательных и параллельных соединений схемы.
Этап разработки структурной функции системы является начальным в решении задачи оценки надежности объекта. Следующими обязательными этапами должны быть:
· оценка (и оптимизация) режимов, полученных на первом этапе расчетных состояний объекта с выделением состояний, в которых обеспечивается требуемое электроснабжение потребителя (нагрузки), и состояний, когда это требование не обеспечивается;
· определение показателей надежности объекта по результатам расчетов на первом и втором этапах.
2.4 Расчет задания
Рис. 2.1. Схема установки (основная).
| Ns | xi | Zi | pi | Ti |
| 11 | 1,2,3 | 50 | 0.95 | A |
| 70 | 4,5,6 | 70 | 0.85 | B |
| 110 | ||||
| 0.98 |
Параметры элементов резервирования
Пропускная способность (производительность) элементов (ед.мощности)
| X | 0 | ||
| A | 50 | 70 | 90 |
| B | 60 | 70 | 100 |
| C | 50 | 80 | 110 |
Коэффициенты готовности элементов (формат 0.dd)
| Y | 8 | |||
| A | 85 | 90 | 98 | |
| B | 80 | 85 | 90 | |
| C | 85 | 95 | 97 | |
Удельная стоимость элементов (тыс.руб / ед.мощности)
| Z | 3 | |||
| A | 5 | 7 | 9 | |
| B | 15 | 17 | 19 | |
| C | 35 | 40 | 45 | |
Вероятности работоспособного состояния (коэффициенты готовности) piи пропускной способности (производительности) Ziэлементов установки приведены в таблице:
Таблица 1.1
| Основная система | ||||||
| Номер и обозначение элемента xi | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
| Тип элемента | А | А | A | В | B | B |
| Вероятность работоспособного состояния pi | 0,95 | 0,95 | 0.95 | 0.85 | 0.85 | 0.85 |
| Пропускная способность Zi | 50 | 50 | 50 | 70 | 70 | 70 |
Расчетная нагрузка установки: Zном = 70 ед., максимальная - Zmax= 110 ед. При построении зависимости показателя надежности установки от нагрузки следует рассмотреть ряд нагрузок не менее максимальных (контрольные точки подчеркнуты): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 110
Нормативный показатель надежности установки принят равным Pнорм=0,98
Для резервирования схемы предлагается использовать элементы типа A, В или С; их параметры даны в следующей таблице:
Таблица 1.1
| Тип резервного элемента | А | А | А | В | В | В |
| Вероятность работоспособного состояния pi | 0,85 | 0,90 | 0,98 | 0,80 | 0,85 | 0,90 |
| Пропускная способность Zi | 50 | 70 | 90 | 60 | 70 | 100 |
| Удельная стоимость, тыс.руб./ед.мощности ci | 7 | 8 | 9 | 15 | 17 | 19 |
2.4.1 Вычисление структурных функций
Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:
S(Z) = β∑( α1(x1x4) α2(x2x5) α3(x3x6)) (2.7)
В этом выражении операция α 1 предполагает преобразование двух элементов х1х4 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - α 1); α 2 состоит из двух элементов x2x5, которыетоже будут преобразованы в один элемент - α 2; α 3 состоит из двух элементов x3x6, которыетоже будут преобразованы в один элемент – α 3. При этом элементы α 1, α 2, α 3 образуют вместе три параллельно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции β.
Выражение для каждого αiвыпишем максимально подробно:
α 1(x1x4) = (p1[50]+q2[0])(p4[70]+q4[0])=p1p4[50] +[p1q4 +p4 q1+ q1q4][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)
α 2(x2x5) = (p2[50]+q1[0])(p5[70]+q5[0])=p2p5[50] +[p2q5 +p45q2+ q2q5][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)
α 3(x3x6)= (p3[50]+q3[0])(p6[70]+q6[0])=p3p6[50] +[p3q6+p6q3+ q3q6][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)
S(Z) = β∑( α 1(x1x4) α 2(x2x5) α 3(x3x6))= (0,8075^3)*[50+50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+(0,1925^3)[0]=0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50]+0,0071[0] =1. (2.8)
| Zнk | S(Z) = α∑( β1(x1x2)β2(x3x4)β3(x5x6)) | P[Z≥Zнk] |
| 0 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50]+0,0071[0] | 1 |
| 10 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50] | 0,9929 |
| 20 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50] | 0,9929 |
| 30 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50] | 0,9929 |
| 40 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50] | 0,9929 |
| 50 | 0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50] | 0,9929 |
| 60 | 0,5265[150]+0,3766[100] | 0,9031 |
| 70 | 0,5265[150]+0,3766[100] | 0,9031 |
| 80 | 0,5265[150]+0,3766[100] | 0,9031 |
| 90 | 0,5265[150]+0,3766[100] | 0,9031 |
| 100 | 0,5265[150]+0,3766[100] | 0,9031 |
| 110 | 0,5265[150] | 0,5265 |
| 150 | 0,5265[150] | 0,5265 |
Рис. 2.2. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки.
Анализ графика в контрольных точках показывает:
· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,9031;
· максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна, составляет 0,5262.
2.4.3 Обеспечение нормативного уровня надежности установки
Из таблицы 2.2. следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0,9031не соответствует заданному нормативному уровню Pнорм = 0,98. Следовательно, требуется повышение надежности установки, которое в данном случае может быть обеспечено вводом дополнительной перемычки.
Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:
S(Z) = α∑( β1(x1x2 x3)β2(x4x5 x6)) (2.7)
В этом выражении операция β1 предполагает преобразование трех элементов х1х2x3 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - β1); β2 состоит из трех элементов х4х5x6, которыетоже будут преобразованы в один элемент - β2. При этом элементы β1, β2 образуют вместе два последовательно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции α.
Выражение для каждого βiвыпишем максимально подробно:
β1(x1x2x3)= ( p1p2p3 [150]+ p1p2q3[100]+ p1q2q3[50]+ p1p3q2[100]+ p2p3q1[100]+ p3q1q2[50]+ p2q1q3[50]+ q1q2q3[0]= 0,8574[150]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0451[100]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0024[50]+0,0001[0]=0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0]=1
(проверка)
β1(x4x5x6)= ( p4p5p6 [210]+ p4p5q6[140]+ p4q5q6[70]+ p4p6q5[140]+ p5p6q4[140]+ p6q4q5[70]+ p5q4q6[70]+ q4q5q6[0]= 0,6141[210]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,1084[140]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,0191[70]+0,0034[0]=0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0]=1
(проверка)
S(Z) = α∑( β1(x1x2x3)β2(x4x5x6))= (0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0 ])*( k0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0])=0,5265[150]+0,2788[140]+0,1271[100]+0,0569[70]+0,0072[50]+0,0035[0]=1. (2.8)