Вивчення властивостей твердого тіла (стр. 4 из 5)
Для певного кристала при заданій температурі знаменник виразу (4.1.3) постійний. Оскільки
– сума швидкостей розсіяння для всіх типів резистивних процесів, то видно, що 
, де Wi – тепловий опір, відповідний кожному резистивному процесу i, що діє окремо, але за умови переважання N-процесів. У загальному випадку тепловий опір неаддитивний, оскільки у формулі для ϰ1 швидкості релаксації складаються в знаменнику інтеграла (комбінований релаксаційний час міститься в чисельнику), а, крім того (за винятком розглянутого тут граничного випадку), формула для ϰ2 дуже складна і не приводить до такого простого результату. 
Представляючи функції від ϰ, що входять в (4.1.3), через С(ϰ) і повну теплоємність С і проводячи прості арифметичні дії, запишемо вираз (4.1.3) у вигляді(4.1.4.а)
Слід порівняти вираз (4.1.4.а) з виразом для теплопровідності, отриманим релаксаційним методом у відсутність N-процесів. В цьому випадку час релаксації кожної моди множиться на її внесок в теплоємність, а потім інтегрується по всіх модах для отримання теплопровідності. Якщо ж переважають N-процеси, то швидкість релаксації кожної моди множиться на її внесок в теплоємність і після інтеграції виходить повний тепловий опір. В останньому випадку квадрат теплоємності в знаменнику виразу (4.1.4.а) приводить до теплового опору, зворотного теплоємності, і до теплопровідності, пропорційній першому ступеню теплоємності.
Оскільки υτ = l. можна у вираз (4.1.4.а) ввести середню довжину вільного пробігу:
(4.1.4.б)
Варіаційний метод у разі переважання N-процесів дає той же результат, тобто вирази (4.1.4.а) і (4.1.4.б).
Існує серія експериментів, в яких досліджувався вплив дефектів, причому для пояснення їх можна прямо застосувати розглянуту тут теорію.
У одному випадку метод Каллуея не знаходить застосування. Якщо резистивне розсіяння має місце тільки на межах кристала, а N-процеси відбуваються достатньо часто, то у виразі (4.1.4.а) не можна представляти значення υ/D для
(D – відповідний лінійний розмір кристала). Якщо проте це зробити, то отримаємо 
Останній вираз представляє якраз опір внаслідок розсіяння на межах у відсутність N-процесів, а отже, виходить, що N-процеси в даному випадку не грають ніякої ролі. Насправді для цієї спеціальної комбінації розсіяння теплопровідність перевищує величину теплопровідності, отриману при розсіянні на межах у відсутність N-процесів, в число разів, рівне швидкості релаксації для N-процесів.
3) Випадок наявності тільки N-процесів
Оскільки на практиці досяжні тільки два попередні граничні випадки, тут ми покажемо, що в даному випадку результат виходить правдоподібним. Припустимо, що резистивні процеси відсутні зовсім, тому τ → ∞ і τС = τN. Знаменник ϰ2 тоді обертається на нуль, і ϰ2 → ∞, тобто отримуємо нескінченну теплопровідність, що і потрібно було довести.
3.2 Варіаційний метод
Якщо розсіяння відбувається як внаслідок резистивних процесів, так і внаслідок N-процесів, чисельник варіаційного виразу для теплового опору складається з сум або інтегралів, відповідних кожному механізму розсіяння; для двох випадків маємо два вирази. Хоча при тих обставинах, яким відповідають чисельники цих виразів, можна точно отримати 1/ϰ = О, проте не можна написати простий вираз для теплового опору в загальному випадку, коли діють спільно декілька типів резестивного розсіяння, а також існують (або не існують) N-процеси. Ідея розгляду буде продемонстрована на прикладі методу Шерда і Займана для обчислення теплопровідності при розсіянні на точкових дефектах і наявності N-процесів. Розгляд приводить до тих же результатів, що і метод Каллуея.
1) Резистивні процеси і N-процеси однаково важливі
Для ілюстрації варіаційного розгляду в цьому загальному випадку передбачається, що резистивне розсіяння відбувається тільки на точкових дефектах; тим самим зменшується число членів, які потрібно враховувати. Це припущення було використане Шердом і Займаном для пояснення експериментальних результатів по розсіянню фононів ізотопічними «домішками».
Для випадку, коли пружне розсіяння на точкових дефектах відбувається одночасно з N-процесами, варіаційний вираз для теплового опору має вигляд
(4.2.1)
де функція
(q) повинна бути вибрана так, щоб мінімізувати цей опір.Раніше було показано, що можна вибрати такий простий вид функції
(q), при якому перший або другий член в чисельнику звертається в нуль. Проте тепер при будь-якому виді (q) один із членів у виразі (4.2.1) істотно відрізнятиметься від нуля. Дуже важко знайти точний вираз для (q), який привів би до мінімального можливого значення W. Тому Шерд і Займан узяли правдоподібну комбінацію двох виразів для (q). Оскільки швидкість релаксації при розсіянні на точкових дефектах стрімко збільшується із зростанням q, вони припустили, що починаючи з деякого значення q розподіл фононів визначається дефектами та N-процесами, що вносять внесок в (q) незалежно один від одного. Для малих q точкові дефекти самі по собі приводять до сильного відхилення від рівноважного розподілу, причому передбачалося, що їх внесок в (q) відповідає граничному значенню. Пробна функція, таким чином, була вибрана різною для двох інтервалів q. 
Величина ε вважалася залежною від концентрації дефектів, але не залежною від температури. Шляхом варіювання коефіцієнтів а0 і а4, а також величини ε знаходилося мінімальне значення теплового опору, який визначається виразом (4.2.1).
Можна очікувати, що інтервал значень q, в якому на фононний розподіл істотно впливають точкові дефекти, збільшується при зростанні швидкості релаксації за рахунок розсіяння на точкових дефектах. При цьому значення q0і ε повинні зменшуватися. Обчислення Шерда і Займана показали, що для малих концентрацій ізотопічних «домішок» у фториді літію (теорія була спочатку розвинена для пояснення експериментів на таких кристалах) ε ≈ 3, але для кристалів із значним розсіянням на точкових дефектах ε < 0,5.
У своїй першій роботі по застосуванню простого релаксаційного методу Клеменс враховував N-процеси, припускаючи, що вони усувають розбіжність ефективного часу релаксації при малих q; час релаксації для фононів при q < kвT/ħυ рівний часу релаксації при q = kвT/ħυ = q0. Теплопровідність визначається виразами з урахуванням цієї зміни, так що інтеграл розбивається на дві частини: для значень q від 0 до q0 час релаксації постійний, але від q0 до qмакс він залежить від q звичайним способом.
Хоча може здатися, що процедура «обрізання», введена Клеменсом, неістотно відрізняється від методу Шерда і Займана, чисельні результати для багатьох випадків досить різні. Якщо переважають N-процеси, то рівноважний розподіл фононів порушується в широкій області q і перший член в чисельнику виразу (4.2.1) стає великим. У межі, коли розподіл фононів головним чином визначається N-процесами, тепловий опір, обумовлений точковими дефектами, в 55 разів більше, ніж той, що дається формулою Клеменса, яка не враховує впливу N-процесів на розподіл фононів при q > kвT/ħυ. При концентрації точкових дефектів, відповідній значенню ε = 3, тепловий опір в 20 разів більше значення, яке обчислюється формулою Клеменса. З іншого боку, коли точкові дефекти значно важливіші і визначають розподіл навіть при значеннях q < ½ kвT/ħυ, є широка область фононів, для якої внеском першого члена у виразі (4.2.1) можна знехтувати, і тоді опір тільки трохи більший половини значення Клеменса.
2) N-процеси домінують за наявності резистивних процесів
У цьому граничному випадку передбачається, що розподіл фононів встановлюється тільки за рахунок N-процесів, а розсіяння на дефектах не міняє цього розподілу. У варіаційний вираз N-процеси, таким чином, не дають внеску. Для даного виду
(q) знаменник виразу можна записати в простій формі. Через те що 
і
Знаменник має вигляд
де величина |u| прийнята рівною 1, оскільки u2 міститься і в чисельнику, і в знаменнику. Коли має місце ізотропне розсіяння і вірогідність P (q, q') залежить тільки від відносної орієнтації q та q', чисельник також набуває простій вигляд, і, замінюючи суму інтегруванням, його можна записати у такому вигляді