Використання енергії хвиль системою осцилюючих поверхневих розподілів тиску (стр. 3 из 4)

Ми маємо:

Для даних A, B, як функції w2a/g,

з

Для аксіально-симетричного розподілу тиску та зв'язаної структури, з (А 27)

таким чином, що

в той час для двовимірного симетричного розподілу тиску,

Зрозуміло, що цікаво установити, чи є значення w2a/g для якого А зникає, відповідно викликаючи об’єм потоку униз по поверхні перебуваючи в фазі з прикладеним тиском. Будемо розглядати два простих приклади, для яких можна отримати явні рішення.

(а) Двовимірна область хвилі, створена однорідним простим гармонічним тиском по кінцевому інтервалі |х| <а осі х , що представляє вільну поверхню вперше була вирішена Стокером (1957) і згодом розглянута Огільві (1969) та Фалькао і Сарменто (1980). Для цієї простої задачі маємо, (А32), (А33):

і це легко показує, що

оскільки там немає розсіяного потенціалу.

Рис. 3. Зміна функції А(ka), визначена рівнянням (3.10), з безрозмірним хвильовим числом ka, для круглого однорідного коливального поверхневого розподілу тиску радіусом a.

Вираз для А(ka) більше ускладнено, включаючи спеціальні функції Ci й Si. Однак Фалька і Сарменто (1980) показали, і це може бути підтверджене Огільві (1969), рис. 15, що А(kа) = 0 для ka = 1,3 відповідно до половини ширини смуги приблизно п’ята частина довжини хвилі. Рівняння (3.6) тепер показу, що зі збільшенням ka від нуля, максимальна ефективність 0,5 досягається приблизно при ka = 1,3 для А(ka)= 0, але ефективність знижується до нуля при наступних значеннях ka, для яких В(ka) = 0 , а саме ka = np, n = 1,2, ... . Криві, які показують зміну hmax з ka даються Фалкао та Сарменто (1980).

(b) Як наступний приклад ми розглядаємо аксіально-симетричний розклад вищезгаданого до однорідного коливального розподілу тиску по диску радіусом а на вільній поверхні в глибокій воді. Результуючу тривимірну аксіально-симетричну область хвилі можна визначити явно, використовуючи теорему Гріна разом з фундаментальним потенціалом джерела хвилі в трьох вимірах або, більш просто, за допомогою перетворення Хенкеля.

Знайдено, що

в той час:

Тут J1, Y1, I1, K1 - функції Бесселя у звичайному розумінні. Похідні цього результату разом з розкладами до кінцевої глибини і трубками, які пересікають поверхню води можна знайти у Томаса (1981)

Рис. 4. Зміна klmax з безрозмірним хвильовим числом ka, для циркулярного поглинання коливальних поверхневих розподілів тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання твердого диску (пунктирна лінія).

Рис. 5. Зміна безрозмірного відношення ширини захвату lmax/2a з безрозмірним хвильовим числом для циркулярного поглинання коливального поверхневого розподілу тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання коливального твердого диску (пунктирна лінія). Також показаний теоретичний оптимум (2ka) -l у кожному випадку.

Граф виразу в фігурних дужках в (3.10) показаний на рис. 3 проти ka. Здається, що А(ka) має тільки сім нулів, перший з яких є ka = 1,96 відповідно до радіуса диску приблизно три десятки довжини хвилі. Перший нуль B (ka) відбувається в ka = 3,83.

На рис. 4 показана зміна klmax з ka в той час, як рис. 5 показує безрозмірну зміну ширини захвата щодо діаметру диска. Можна побачити, що максимальне значення klmаx відбувається в першому нулі поки klmах зменшується до нуля при ka = 3,83 відповідно до першого нуля B (ka). Наступні нулі А(ka), B (ka) викликають коливальну поведінку klmax зі збільшенням ka. Найкраще це показано при відношенні ширини захвата lmax/2a зі зміною ka. Ефект позначення, який включає А (ka) дає абсолютний максимум відношення ширини захвата приблизно 0,4 у потрібному діапазоні при ka == 0,7 або відношення довжини хвилі до діаметра приблизно 5. Також показана крива (2ka) -l отримана з (2.24), приймаючи, що резонанс може бути досягнутий при всіх частотах. Як очікується єдина точка контакту з кривою lmax/2a знаходиться в першому нулі А(ka).

3. Порівняння з твердою моделлю пластини

Попередні рішення пристроїв хвильової енергії, які базуються на ідеї форсування пійманого об’єму повітря на водній поверхні через турбіну, були змодельовані вільними поверхнями з умовою для твердої поверхні запропонованої вертикальної швидкості. Подивимось, наприклад, Коунта та ін. (1981). Там обговорювалось, що довгі хвилі принаймні (k® 0), умова тиску (2.6) зводиться до умови твердої поверхні. Однак, щоб бути послідовними, те ж саме наближення потрібно зробити по вхідній вільній поверхні, в якій випадок задачі елемента хвилі втрачений.

Цікаво спостерігати за розходженням результатів двох підходів. Ми розглядаємо тільки єдиний симетричний пристрій, який складається або з твердої поверхневої пластини або з розподілу тиску. В обох випадках максимальна ефективність рівна ½ в двох вимірах, або максимальна ширина захвата – k-l для аксіально-симетричних пристроїв.

Фактична ширина захвата для циркулярного поглинання пластини може бути записана (Еванс 1976) у формі, точно аналогічній (3.4), (3.5), де тепер l - позитивний коефіцієнт демпфування пропорційний швидкості, який з’єднує вертикальну конфронтуючу силу прикладену ззовні на диску та вертикальній швидкості диску. Крім того:

де т - маса диску, a33 (w) його частотно-залежні коливання доданої маси, і

c = pа2rg

коефіцієнт відновленої плавучості, відповідно до припущення, що диск на поверхні є частиною круглого циліндра з кінцевою довжиною, який знаходиться над поверхнею. Коефіцієнт B (w) = b33 (w) – частотно-залежний коефіцієнт демпфування для примусового коливального руху вертикальних коливань диска з одиничною амплітудою швидкості.

Тепер, оскільки прийнято, що диск лежить на вільній поверхні, його масу можна ігнорувати порівняно з його доданою масою, яка в свою чергу може бути безрозмірною, використовуючи запис а33 (w) = 2pа3rm3 (w) таким чином, що:

Подібно

B (w) = 2pа3r w l3 (w),

де l3 (w) - безрозмірний коефіцієнт демпфування.

Вертикальні коливання доданої маси і коефіцієнти демпфування для круглого доку на поверхні були визначені МакКамом (1961), хоча, здається, що на його рис. 6 і 7 є типографська помилка в позначенні ординат; асимптотичний результат m3 ~ 2/3p при ka®¥ разом з іншою інформацією пропонує, що значення дані для m3 та l3 повинні бути зменшені фактором 2p. З цим виправленням, знайдено, що А(w) зникає один раз тільки при ka = 2,1, в той час як B (w) завжди позитивне. Ефект цих розходжень на klmах та lmах /2a показується пунктирами на рис. 4 і 5.

Можна помітити з рис. 4, що у діапазоні 0 < ka < 4, який охоплює діапазон практичного інтересу для пристроїв хвильової енергії, головне розходження в klmaх відбувається для ka > 2, де значення розподілу тиску починають зменшуватися, досягаючи нуля при значенні ka = 3,82 відповідно до першого нуля B (ka) для цього випадку. Поки B (ka) не рівне нулю для твердого поверхневого доку, не відбувається ніякого зниження в klmах в цьому випадку. Те ж саме правильне для відношення ширини захвата на рис. 5; фактично для діапазону відношення довжини хвилі / діаметр від 1,5 до 4 розходження у двох відношеннях ширини захвату - маленькі.

Подібні розходження, які відбуваються у випадку двовимірної смуги також розглянуті МакКамом (1961). У цьому випадку с=2аrg в (4.1) і А(w) зникає для ka(=w2а/g) = 1,42 порівняно зі значенням 1,3, який передбачили Фалько та Сарменто (1980).

Висновок

Було розглянуто ряд задач, які стосуються поглинання енергії хвилі коливальними однорідними поверхневими розподілами тиску. Показано, що використовуючи лінеаризовану теорію водної хвилі можна отримати загальні вирази для середньої потужності поглинання довільною системою розподілів тиску в позначеннях: матриця повних провідностей відносного об’єму потоку, з метою застосування тиску для системи, вимушений об’єм потоку через набігаючий та розсіюваний потенціали, і (прийняті лінійними) характеристики тиск - об’єм потоку потужно-злетного механізму.

Далі показано, що під досягнутим імпедпнсом розуміють максимальну середню потужність поглинання можна визначити виключно, вирішуючи задачу лінійної хвильової дифракції, яка звичайна для корабельної гідродинамічної теорії без посилання до розподілів тиску. З нових результатів випливає, що необхідний коефіцієнт демпфування для даних розподілів тиску до вимушеного об’єму потоку виникає з задачі дифракції. Більшість цих результатів отримано в додатку.

У імовірнішому випадку недосконалої відповідності, показано, що для окремих розподілів тиску в двох або трьох вимірах, існують умови для резонансу, які додають розмір розподілу тиску до довжини набігаючої хвилі. Порівняння з резонансними умовами для твердих пристроїв хвильової енергії показує, що відбуваються тільки невеликі розходження при значеннях ka у межах практично необхідного діапазону, припускається, що використання таких твердих моделей пристроїв, які залежать від представлення поверхневого тиску для їх дії, забезпечить задовільні результати. Для більшого ka, однак, відбуваються істотні розходження, і це буде важливо в нелінійних задачах, де розглядаються високочастотні компоненти Фур’є. Взагалі, однак, в майбутньому може не виправдатись використання теорії твердого тіла краще ніж існуючої теорії для таких пристроїв, оскільки на додаток до більш точно опису фізичної ситуації, вона також має перевагу у створенні простіших задач з граничними значеннями, які необхідно вирішити.