Використання комп’ютерів у фізиці (стр. 4 из 5)

Повна площа всіх параболічних сегментів:

,

де n – має бути парним.

.

Точність методу прямокутників зростає, як

= , трапецій – n^-2, парабол – n^-4.

10.3.Чисельне інтегрування багатовимірних інтегралів.

Багато фізичних задач містять усереднення по багатьом змінним. Наприклад, середнє значення енергії системи частинок E(r_i,p_i), i =1, ..., n. Якщо розмірність простору N = 6n, а число точок на відрізку одного виміру p, то потрібно обчислити за p^N точками суму.

Ще дуже складно визначати N-1 - межу інтегрування. Стандартні методи використовуються для N = 2 - 5.

Найпростіший метод оцінки багатовимірних інтегралів зводиться до послідовного взяття одновимірних інтегралів:

,

і .

10.4. Обчислення інтегралів найпростішим методом Монте-Карло.

а) n_S - число точок, для яких , - загальне число точок. Рівномірно розігруємо точки (x_i, y_i) , оцінка інтегралу є:

б) Ймовірнісна інтерпретація

. Інтеграл - середнє значення функції, помножене на відрізок інтегрування. Розігруються, рівномірно, значення х_і і розраховується значення f(x_i).

10.5. Обчислення багатовимірних інтегралів методом Монте-Карло.

Для прикладу знайдемо центр мас і момент інерції двовимірного тіла:

Межі інтегрування визначаються геометрією тіла. Координати центра мас:

, .

Момент інерції навколо осі z:

.

Чисельна оцінка:

n - число точок, для яких

- незалежні випадкові числа на відрізках

і такі, що попадають у границі фігури.

Якщо для d = 1 - похибка апроксимації спадає, як n^-a , то в d - вимірному випадку ця похибка спадає як n^-a/d.

10.6. Аналіз похибки метода Монте-Карло.

Точність визначається кількістю випробувань в методі Монте-Карло або кількістю відрізків у класичних методах.

Для методу Монте-Карло похибка прямує до нуля, як

.

Дисперсія є мірою похибки:

- дисперсія одиничного виміру,

, , ,

, .

Якщо б

не залежала від х, то .

- дисперсія середнього.

Похибку можна зробити малою, збільшуючи число випробувань або збільшуючи ефективність випробувань.

10.7. Нерівномірний розподіл ймовірності.

Побачили, як можна рівномірний розподіл використовувати для оцінки інтеграла.

Однак, важливо вибірку підінтегральної функції частіше виконувати, у областях

, де велика або швидко змінюється. Для такої вибірки потрібен нерівномірний розподіл ймовірності. Розглянемо метод оберненого перетворення.

Введемо поняття щільності ймовірності p(x), при цьому

- ймовірність того, що випадкове число належить відрізку .

нормується так, щоб

.

Нехай r – випадкове число, рівномірно розподілене на одиничному інтервалі [0,1] з густиною ймовірності:

.

Наше завдання знайти зв’язок між x i r_, такий, що якщо r рівномірно розподілено, то х за законом p(x). Зв’язок встановлюють через інтегральну функцію розподілу:

,

де Р(x) – інтегральна функція розподілу, яка рівна ймовірності одержання випадкового числа меншого за х.

Зв’язок має вигляд:

.

Випадкова величина P(x) розподілена рівномовірно.

.

Ймовірність знайти x в інтервалі

, рівна dP(x).

Співвідношення між dP(x) і dx можна знайти

отже в межах 0

r 1 маємо dP(x)=P(x) dx=P_u(r) dr

Бачимо, що х розподілено з бажаною густиною імовірності.

Приклади:

Згенеруємо рівномірно розподілені на [a, b] числа. Шукана густина

P(x) = r

x = P^-1(r),

, x= a + (в-a) r.

Змінна розподілена за законом (1), коли r—рівномовірне.

Інший випадок

Однак метод оберненого перетворення може бути не найефективнішим. Для використання методу має виконуватись два співвідношення, має братись інтеграл Р(х) і розв’язуватись співвідношення Р(х)=r відносно х.

Для

цього зробити не можна.

Однак можна згенерувати двовимірний гаусів розподіл

перейдемо до полярних координат.

знайдемо імовірність у вигляді:

.

можемо генерувати розподілами за експоненційним законом, а рівномірно в межах [0,2 ] то змінні будуть розподілені за нормальним законом з нульовим середнім і дисперсією .

10.8. Вибірка за значимістю (суттєва вибірка).

Похибка методу Монте-Карло пропорційна

, познайомимось з методом зменшення . Введемо додатню Р(х) таку, що тоді

можна переписати у такому виді

.

Обчислимо інтеграл

, виконуючи вибірку у відповідності до розподілу Р(х), при рівномірному Р(х)=1/(в-а).

Вибираємо Р(х), що веде себе подібно до f(x) там де f(x) велика, тому підінтегральний вигляд буде функцією, що слабо змінюється і дисперсія буде малою.

10.9 Метод випадкового блукання (метод Метрополіса)

Метод одержання не рівномірного розподілу полягає у тому , що деякі вибірки відкладаються.

Нехай хочемо генерувати змінні з розподілом Р(х).

Випадкове блукання задається імовірністю переходу w(x_i

x_j) від одного x_i до іншого x_j для того, щоб розподіл точок x₀, x₁, x₂,… сходився до Р(х).