Використання комп’ютерів у фізиці (стр. 1 из 5)

Реферат

"Використання комп’ютерів у фізиці"

1. Значення комп’ютерів у фізиці, природа чисельного моделювання.

1.1. Вступ.

Комп’ютер виступає у ролі експериментальної установки для проведення фізичних дослідів, причому потрібно самому проводити дослід і інтерпретувати результат.

Чисельне моделювання наближається до традиційних методів: експериментального і теоретичного.

Згідно з китайським прислів’ям: “Я чую і забуваю, я бачу і запам’ятовую, роблю і осягаю” представлено представлено роботу з пропонованим матеріалом. Розділи містять необхідні фізичні поняття, за якими йдуть тексти програми, задачі і контрольні питання. Тексти програми вводимо із клавіатури.

1.2. Використання комп’ютерів.

а) Чисельний аналіз, наприклад, взяти багатовимірний інтеграл, провести операцію з великою матрицею, розв’язати складне диференціальне рівняння.

б) Символьне перетворення або аналітичне перетворення виразів, наприклад виразу

в) Моделювання наприклад, обміну грошима (енергією) 100 учнів по 10$ і вчитель10$ обмінюються 0.5$ тільки з учителем.

г) Використання комп’ютерів допомогло знайти нові спрощуючі принципи.

д) Керування процесами в реальному часі. Проектування апаратури, керування, збір і аналіз даних.

Важливість чисельного моделювання проявляється в тому, що більшість систем, що аналізуються є нелінійними, а аналітично їх можна розв’язати в окремих лінійних випадках. Більшість систем має велике число ступенів вільності або змінних. Розвиток комп’ютерних технологій привів до нового погляду на фізичні системи. До формування законів у вигляді правил для комп’ютерів.

Для початку моделювання формують ідеалізовану модель фізичної системи. Чисельний експеримент є мостом між лабораторними експериментами і теоретичними розрахунками. Однак чисельне моделювання не усуває розміркування, а є інструментом що використовують для осягнення складних явищ.

Мета досліджень фундаментальних явищ у пошуку пояснень, які можна записати на конверті, або представити на пальцях.

Відмітимо важливість графіки для наочного представлення функцій, наприклад,

Важливим критерієм якості програми є її “читабельність”, бо є аналогія між добре написаною програмою і добре написаним документом.

Потрібно завести журнал де будуть записані програми, результати, видані комп’ютером графіки і аналіз даних. Цим ви виробите навики ведення дослідницьких проектів, приведете у порядок думки зекономите час. Журнал знадобиться для написання лабораторного звіту, або міні дослідження за програмами, результатами, аналізу даних і їх інтерпретації.

2. Метод Ейлера розв’язування диференціального рівняння на прикладі закону теплопровідності Ньютона.

2.1. Основні поняття.

Якщо різниця температур об’єкта і середовища не велика то

,

де r - коефіцієнт остигання, залежить від механізму теплопередачі, площі поверхні та теплових властивостей тіла.

Зміна температури за законом теплопровідності Ньютона має вигляд диференціального рівняння 1-го порядку

.

Часто розв’язок у аналітичному виді представити не можливо.

2.2. Алгоритм Ейлера (метод дотичних).

Представимо рівняння у різницевому вигляді в x₀, y=y₀, на малому

, g(x,y) стала

y₁ = y(x₀ ) +

y(x₀ ) + g(x_0, y₀ )

x

Повторюючи знайдемо

y₂ = y(x₁+

x)

y(x₁) + g(x₁, y₁ )

x

y_n= y_n-1+ g(x_n-1 ,y_n-1)

x, (n=0,1,2…)

нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу.

2.3. Програма для комп’ютера.

Алгоритм методу.

1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків).

2. Визначається y і нахил у початковій точці відрізку.

3. Обчислюється y у кінцевій точці відрізку і друкується результат.

4. Кроки 2 і 3 повторюємо необхідне число раз.

3. Розв’язування задач руху.

3.1. Основні поняття.

1. Об’єкт, що рухається, розглядають, як матеріальну точку, тобто такий, що немає внутрішньої структури.

Розглянемо задачу падіння тіл поблизу поверхні землі.

Одновимірний рух:

y(t) – координата, v(t) – швидкість, a(t) – прискорення.

За означенням:

v(t)=dy(t)/dt, (1)

a(t)=dv(t)/dt. (2)

Це кінематичні величини, бо описують рух безвідносно до причини, що його викликає.

Ньютон вказав, що прискорення пропорційне силі, що діє на тіло:

a(t)= F(y, v, t) /m, (3)

m – інертна маса.

Бачимо, що рух матеріальної точки не залежить від похідних координати по часу вищих ніж друга. Можемо звести рівняння до одного:

d²y(t)/dt²=F(y, v, t)/m. (4)

3.2. Сили, що діють на падаюче тіло.

Якщо опором повітря знехтувати, то розглядаємо вільне падіння g=9,8 м/с² , тому a = g. Розв’язок (4) можна записати:

v(t)=v₀+gt,

y(t)=y₀ +v₀t+(1/2)gt².

Розв’язок буде складнішим, якщо враховувати зміну прискорення в залежності від відстані до центра Землі:

F = GMm/(R+y)² = gm/(1+y/R)², g = GM/R.

Іншою важливою модифікацією є врахування гальмівної сили, зумовленої опором повітря. Напрямок сили опору середовища протилежний до напряму швидкості. Запишемо силу, що діє на матеріальну точку:

F = F_g - F_d = mg - F_d.

Для знаходження F_d (v) – залежності гальмівної сили від швидкості, можна скористатись експериментальною залежністю y(t).

Для F_d (v) – приймається певний вид залежності від v, і ця формула використовується для знаходження функції y(t). Якщо обчислені значення узгоджуються з експериментальними, то прийнята залежність F_d (v) вважається експериментально підтвердженою.

Найбільш загальні залежності:

F_d(v)=k₁v, F_d(v)=k₂v²,

де k₁, k₂ – залежать від властивостей середовища і геометрії тіла. Записані залежності - корисні феноменологічні вирази, що наближено описують силу у обмеженому діапазоні швидкостей.

Через те, що сила опору є зростаючою зі швидкістю існує гранична швидкість, така що встановлюється, за умови рівності нулю прискорення або сили:

F_g = F_d,

v₁ = mg/k₁, v₂ = (mg/k₂)^1/2.

Часто зручно вимірювати швидкість в цих одиницях.

F_d = k₁v₁(v/v₁), F_d = k₂v₂²(v/v₂)².

Отже рівнодійна сили, що діє на тіло

F₁(v) = mg(1 - v/v₁), F₂(v) = mg(1 - (v/v₂)²).

Реальні дані: m = 10^-2 кг, r = 0.01м, k₂ = 10^-4 кг/м. Можна знайти v₂ = 30 м/с, цю швидкість має вільне тіло за 3 с пролетівши 50 м без опору повітря. Отже опір повітря грає суттєву роль.

3.3. Чисельний розв’язок рівняння руху.

Узагальнимо метод Ейлера на рівняння другого порядку. Позначимо через dt – крок по часу, тоді t_n – що відповідає n – кроку

t_n = t₀ + n dt.

Позначимо на n – кроці a_n, v_n, y_n. Пряме узагальнення набуде вигляду

v_n+1 = v_n + a_n dt, y_n+1 = y_n + v_n dt.

Значення у наступній точці визначається через значення у початковій точці. Можна ввести зміну:

v_n+1 = v_n + a_n dt, y_n+1 = y_n + v_n+1 dt.

Це модифікований метод Ейлера, метод Ейлера – Кромера, що виконує наближення за наступною точкою.

4. Задача Кеплера.

4.1 Вступ.

Значний вплив на світогляд людини справили закони руху і всесвітнього тяжіння.

Знання про рух планет об’єднали закони Кеплера.

1. Будь-яка планета рухається за еліптичною орбітою у одному з фокусів якої знаходиться сонце.

2. Швидкість планети зменшується у міру віддалення її від Сонця таким чином, що пряма, що з’єднує Сонце і планету за рівні проміжки часу замітає однакову площу.

3. Для всіх планет, що обертаються навколо Сонця, відношення T²/a³ однакове (T-період обертання планети навколо Сонця, а - велика піввісь еліпса).

4.2. Рівняння руху планет.

Задачу двох тіл зводимо до задачі одного тіла.

Перший спосіб. М_с>>m_з, з Сонцем можна зв’язати початок системи координат.

Другий спосіб. Якщо потенціальна енергія залежить тільки від відстані між тілами M і m, зводимо до руху одного тіла масою

= ,

m _з=5.99 10²⁴ кг, M_c=1.99 10³⁰ кг

Отже

.

Кілька планет, що взаємодіють між собою і з Сонцем. Чи починаючи з випадкових орбіт прийдуть вони у плоску систему?

Чи газова хмаринка розділиться на планети?

Закон всесвітнього тяжіння.

F= -

(1)

Частинка М притягує m з силою F, r напрямлено від M до m.

G = 6.66 10^-11

‘-’ означає, що гравітаційна сила є силою притягання.