Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при растяжении и сжатии (стр. 2 из 2)

В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила N = Р не зависит от г. Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения Р, то из выражения (1.5) получаем

При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением

учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурной деформации:

где а — коэффициент температурного расширения материала.

Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем, очевидно,

Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием к этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и величина а практически не зависит от напряжения

Для стали это имеет место до температуры порядка 300—400° С. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость

Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.

Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 21, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если

Материал — сталь,

Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня не имеет значения.

Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила N в каждом сечении стержня численно равна внешней силе Р. Построим график изменения силы N вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами. Они Дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин. В данном случае эпюра нормальной силы представлена на рис. 21, б прямоугольником, поскольку

На рисунке эпюра N заштрихована линиями, которые проведены в направлении откладываемой на графике величины N. В данном случае значение силы N откладывается вверх, следовательно, штриховка проведена Вертикально.

Для того чтобы получить эпюру напряжений 0, надо ординаты эпюры N изменить обратно пропорционально величине Р (рис. 21, е). Большее значение о равно

Определим, на какую величину и (см) переместится каждое сечение стержня по направлению силы Р. Перемещение

сечения равно удлинению отрезка

Длиной

Следовательно, согласно формуле (1.6)

Таким образом, на участке изменения

перемещение и пропорционально г (рис. 21, г). На втором участке стержня перемещение равно

Зависимость

также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня

Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 22). Длина стержня

площадь поперечного сечения Р, удельный вес материала Нормальная сила в сечении равна весу нижележащей части стержня: Следовательно, нормальная сила пропорциональна Эпюра. А в данном случае штрихуется горизонтальными линиями, поскольку величины N откладываются в горизонтальном направлении. Напряжение в сечении равно (см. эпюру на рис. 22).

Перемещение и в сечении г равно удлинению верхнего участка стержня.По формуле (1

.5). Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией Наибольшее перемещение имеет нижнее торцевое сечение

Пример1.3. Колонна (рис.23) нагружена силой Р

Такими силами собственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

На расстоянии г от торца нормальная сжимающая сила N равна

По условию задачи

откуда

Дифференцируя обе часта этого равенства по г, получим

Или

После интегрирования находим

или

При

следовательно, и тогда искомый закон изменения

площади Г принимает вид

Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения а, которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис. 23). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны.

Нормальная сила в сечении

равна

Эпюра Л показана на рис. 2.3.

Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочное™. Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объёма, такую конструкцию называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболее эффективно.

Пример 1.4. Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р (рис. 24). Требуется подобрать поперечное сечение стержней А В и ВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. При этом угол

должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна

Из условий равновесия узла В (рис. 24) находим нормальные силы в стержнях:

Далее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения о:

Вес конструкции кронштейна пропорционален объему

Подставляя длины и площади стержней, находим

Величина V имеет минимум при

Использованная литература

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. – 8-е изд., стереотип – М.:

Наука. Главная редакция физико –математической литературы, 1979. – 560 с.