Волновые процессы и элементы векторного анализа (стр. 2 из 3)

;

Поясним рисунками для волн в фиксированном месте и в фиксированный момент времени .

w(0,t)w(x,0)

t x

Волновая картина в фиксированном Волновая картина в фиксир-й

месте. момент времени

Гармонические волны периодичны в пространстве и времени

В фиксированном месте:

;

В фиксированный момент времени;

2.4. Фазовая скорость

Фазовая скорость и волны есть скорость распространения точек одинаковой фазы:

Эта скорость равна скорости гармонической волны. Фазовая скорость:

/k=

k=2

т.е.u=

Доказательство:

t-kx-

=const дифференцируем

t-k

, U=lim(

U_Е=U_x/cos

т.е. т.к. cos

<1,.

то фазовая скорость может превышать скорости света

Элементы векторного анализа

Необходимо уметь анализировать не только скалярные, но и векторные функции точки.Скалярные функции: температура неравномерно нагретого тела, плотность неоднородного тела и т. д.Векторные функции: скорость частиц текущей жидкости, сила земного притяжения, магнитное и электрическое напряжение электрического поля.Рассмотрение скалярных и векторных функций точки привело к построению теории поля.

Векторное поле а(М) называется дифференцируемым в точке М, если оно определено в окрестности точки М и если приращение ∆a=a(M’)-a(M) поля может быть представлено в виде:

∆a=А(∆r)+E(∆r);

∆r=MM’; A и E – линейные операторы;

А – не зависит от ∆r; E зависит, при ∆r=0 E=0;

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости векторного поля а заключается в дифференцируемости его координат P, Q, R. При этом линейный оператор А изображается матрицей:

дР/дх, дР/ду, дР/дz

А= дQ/дх, дQ/ду, дQ/дz

дR/дх, дR/ду, дR/дz

и вектор-функция А(∆r) имеет вид:

A(∆r)=1/2{A(∆r)+A^*(∆r)}+1/2[pA(r)].

Дивергенция

Сумма диагональных элементов матрицы, представляющей симметричную линейную вектор-функцию ½{A(∆r)+A^*(∆r)} не зависит от выбора системы координат: она называется дивергенцией (расхождением) векторного поля а и обозначается diva:

diva=дP/дх+дQ/ду+дR/дz.

Вектор Р называется вихрем (ротором) поля а и записывается в виде:

rota=(дR/ду-дQ/дz ,дР/дz-Rд/дх, дQ/дх-дР/ду );

Если V поле скоростей текущей жидкости и rotV≠0, то частица движется по замкнутым линиям (образуются вихри). divVв этом случае характеризует интенсивность источника divV>0 и стока divV<0, находящегося в этой точке или отсутствие источника и стока.

Сегодня общепринято представлять уравнения Максвелла в векторной форме. Описания в декартовых координатах менее информативно.

Мы в основном будем пользоваться следующимиобозначениями:

1.Всегда используется правая системакоординат: т.е. такая вкоторой положительная ось Х совмещается с осью У,если наблюдатель смотрит вдоль положительного направления оси Z.

2.Векторы обозначаются буквами:

Е – жирный шрифт – вектор;

Е – его модуль

е – единичный вектор в направлении вектора Е.

Амплитуда вектора, который изменяется по синусоиде, обозначается символом с индексом:

Е=еЕ

и (5)

Е=Е_о ехрi(wt-xz).

3.Произведение двух векторов Е и Н записывается

- скалярное произведение модуль котрого равен ЕНcosq