В роботі розглядається стійкий однорідний потік повз установлене двовимірне підводне крило, занурене в рідину. Поверхневою напруженістю знехтувано та припускається, що рідина – нев’язка, нездавлювана, і рух безвихровий. Задача точного нелінійного потоку вільної поверхні, сформульована в невідомих функції потоку, замінена еквівалентною варіаційною задачею за допомогою класичного принципу Гамільтона. Тоді ми застосовуємо метод місцевих кінцевих елементів, заснований на принципі Гамільтона в нелінійних підобластях і на нежорсткій формі в скорочених нескінченних лінійних підобластях. Цей метод - продовження методу, розробленого для лінійної задачі Баі (1978) для задачі нелінійного потоку вільної поверхні. Порівняння між лінійними результатами Баі і експериментальними вимірюваннями Паркіна та іншими (1956) показали відносно гарну збіжність для деякого діапазону числа Фруда. Однак, для деяких чисел Фруда з відносно маленькою глибиною занурення, обчислені результати для лінеаризованої умови вільної поверхні показують значну розбіжність з експериментом. Паркін та інші навели результати спостереження про потік над мілко зануреним підводним крилом, навели характеристики гладкого типу чи такого, який характеризується стоячим стрибком та хвилями, в залежності від числа Фруда. В роботі зроблені обчислення, які задовольняють точну умову вільної поверхні. Обчислені результати порівняні з результатами попередніх лінійних обчислень та експериментів. Порівняння показують кращу збіжність з експериментальними вимірюваннями ніж в лінійних обчисленнях. [19]
Уже в першій чверті 20-го століття стало зрозуміло, що більше не можливо досягти вищих швидкостей суден зі звичайними лініями. З’явилася потреба у знаходженні нових технічних рішень для того щоб підтримувати основну тенденцію по збільшення швидкості. Саме тому в п’ятидесятих- сімдесятих роках 20-го століття судно з динамічною підтримкою стало дуже популярним, через повне зниження гідродинамічного опору основного корпуса, що виходить із води. Провідна позиція належала підводним крилам. Хоча спочатку комерційні підводнокрилові судна були побудовані Хансом фон Щертелем (Німеччина), і їх використання почалося в 1953, базою для першого реального виробництва в повному масштабі були проекти російського вченого Р.Е. Алексєєва. Таким чином, було побудовано більш ніж 1000 судів з підводними крилами. Оскільки перші радянські підводні крила були розроблені більше для річок, для таких суден використовувалась низько-затоплена система крил, в яких підйомна сила крил залежить від її занурення під вільною поверхнею. Така система крил гарантує мінімальне осідання судна, яке рухається в режимі водовитиснення і має просту структуру крил, завдяки чому виникає автоматична стабільність контролю обумовлена відносно пізньою появою кавітації і піднімаючої сили, як функції глибини занурення.
Успішна робота суден з підводними крилами закінчилася будівництвом бойових човнів з підводними крилами. Однак, Алексєєв не досяг успіху в забезпеченні морських човнів з низько-зануреними крилами через незастосовність в морях таких судів. Пізніше, російське конструкторське бюро Алмаз і група проектувальників Зеленодолска займалися розробкою підводного крила морехідних суден під керівництвом Бурлакова і Коунховича. Разом з застосовністю в морях, ці роботи були пов’язані з подальшим збільшенням швидкості.
Коунахович показав особливо високу діяльність у роботах, зв’язаних, зі збільшенням швидкості. Головною перешкодою для швидкості були кавітації. З його ініціативи було розроблено експериментальне судно "Sіnertch" (від російського "торнадо") з суперкавитуючим крилом.
Судно має ніс і головну суперкавітуючу поверхню, яка перетинає воду та крило. Судно було обладнано реактивними двигунами з повітряною подачею як рушії. Швидкість, досягнута судном була більш ніж 100 вузлів. Однак, з подальшої роботи, стало зрозуміло, що побудоване судно не могло мати високу ефективність, якщо його гідродинамічна якість була забезпечена суперкавітуючим крилом з системою підтримки – електроенергії і палива, яке настільки важке, що вантажоможливість судна буде дуже низька.
Судна з підводними крилами, які становлять 60 відсотків від всіх швидкодіючих судів в 70-х і 80-х роках розвивалися у двох напрямках. Перше направлення мало на увазі поліпшення морехідної здатності кожного виду підводного крила при збереженні високої гідродинамічної ефективності через безкавітаційні підводні крила. Гранична швидкість цих підводних крил була приблизно 60 вузлів.
Другий напрямок мав на увазі подальше збільшення швидкості; щоб тримати гідродинамічну ефективність на високому рівні, аеродинамічна підтримка, тобто ефект аеродинамічного підйому поверхні необхідно було використовувати для того, щоб зробити підводні крила меншими і у деяких випадках прибрати їх взагалі.
Велика частина роботи була пророблена по першому напрямку, вирішено багато технічних задач і побудовані високошвидкісні судна. Вже в середині 60-х було відомо, що найвище судно в морському виконанні могло дозволити повністю затопляти підводні крила без перетинання поверхні води. Єдина незручність, яка змушувала хвилюватися проектувальників, було те, що ця система не мала властивої стабільності, безпеки навігації, що забезпечує ефективну роботу тільки автоматичної системи керування.
Це викликало розбіжність думок проектувальників у середині шістдесятих, коли з’явилася потреба в більших бойових судах з підводними крилами. Конструкторське бюро Almaz сконцентрувало сили на створенні судна з автоматично керованими підводними крилами без перетинання поверхні води, у той час як група проектувальників Зеленодолска мала тенденцію проектувати морехідне судно на підводних крилах, що перетинають поверхню води і властиву стабільність, використовуючи автоматику для стабілізаторів судна.
Типи судів були різні - перше - бойове ракетне судно, друге - фрегат, але було багато подібного у їх гідродинамічних особливостях - подібна швидкість (приблизно 60 вузлів), подібний зсув (приблизно 500 t), головні рухові одиниці з єдиним типом - z-двигуна потужністю 11 MВт, однаковий тип повністю затонулого підводного крила в кормовій частині.
Найбільшою перешкодою будівництва таких суден був той факт, що кавітаційні лабораторії, доступні в той час не могли досягати числа кавітацій, що відповідають повній швидкості цих суден. Конструкторське бюро Almaz вирішило будувати модель судна в повному масштабі з повністю затонулими підводними крилами і одиницями z-двигуна. Спочатку пропонувалося, що це буде модель дослідного судна "Uragan" ("ураган"), але в процесі подальшого проектування, елементи відхилялися, і випробування "Taіfun" (назва моделі) дозволили перевірити тільки принципові технічні рішення. "Taіfun" був побудований як пасажирський катер і використався протягом деякого часу на лінії між Ленінградом і Таліном. Випробування повністю підтвердили характеристики проекту. На жаль, суднобудування в повному масштабі на основі цього проекту не було запущено, причина полягала в тому, що в будівництві цього човна широко використалися частини компонента авіації, і було надзвичайно важко влаштувати їхню комерційну поставку для відділу суднобудування в економічному навколишнім середовищі того періоду.[20]
Для гідродинамічного аналізу швидкісного глісуючого судна човни з плоскими контурами днища були майже повністю замінені іншими успішними теоретичними моделями. Ці моделі використовують переважно "теорію тонкого тіла" (SBT) у тій або іншій формі, наприклад, (Вагнер, 1932), (Тулін, 1957), (Ворус, 1996), (Бреслин, 2000).
Теорія тонкого тіла вимагає, щоб порядки зміни в координаті х були маленькі. Автор відмічає тільки одну роботу, яку можна кваліфікувати як застосування SBT. Вона поширюється на глісування плоского днища судна. Це робота Туліна, 1957. Але припущення Туліна про трикутну площину плавання, що веде до подібного рішення в нижній координаті не реальні, крім як для дуже спеціального випадку човна із плоским днищем та гострим носом. І в цьому випадку, тільки там, де тяга і деферент установлені так, що вільно-поверхневий перетин є точно у вершині носа днища. Взагалі, з довільними тягою і диферентом водно-поверхневий перетин з плоским днищем перебуває в кормовій частині вершини носа, і тому тупий.
У роботі [21] запропонована теоретична обробка передньої кромки, мета якої полягає в тому, щоб установити істинність SBT і розширити її добре розвинені гнучкі методології застосування до типу плоских днищ. [21]
Коливальні або хлопаючі двигуни крила довгий час були цікавими пропульсійними пристроями. Вивчення аеродинаміки коливальної частини крила було розпочато на початку 1900-х років Цеодорсоном, який досліджував поведінку крила в пориві та флатері. В ранніх вивченнях аеродинаміки крила підчинялися тільки малоамплітудним рухам, для того, щоб можна було досліджувати природу нестійкості крила літака. Вивчення коливального крила для пропульсійних пристроїв було запропоновано Лайтхілом (1969) та Ву (1971). Найбільш удосконалені та найчастіше використовані числові методи і аеродинаміці базувалися головним чином на теорії підйому поверхні. Мала амплітуда коливання крила у вигляді рушія була досліджена Чопром (1974) та Камбе (1977).