Динамічні процеси та теорія хаосу (стр. 6 из 7)
Визначення фрактала. Мандельброт запропонував називати фракталом безліч, для якої його хаусдорфова розмірність строго більше топологічною:
dH > dT(4.3)
Фрактали можуть бути регулярними і стохастичними.
По суті визначення (4.2) фрактальна розмірність відображає властивість масштабної інваріантності даної безлічі.
Нерівності (4.3) можна додати певний фізичний сенс. Воно характеризує ускладнення безлічі. Якщо це крива (dT= 1), то криву можна ускладнювати шляхом нескінченного числа вигинань до такого ступеня, що його фрактальна розмірність досягне два, якщо вона щільно покриє кінцевий майдан, або три, якщо крива «упакує» куб.
Реальне визначення фрактальної розмірності за допомогою, наприклад, чисельних методів насправді ніколи не проводиться на нескінченній безлічі, і число крапок, що покриваються, обмежене деякою величинойN0. Тому для кінцевого числа крапок завжди існує мінімальна відстань між ними rmin. При зменшенні r, коли зачинає виконуватися нерівність rn < rmin, величина N(rn) перестає змінюватися, досягаючи значення N0. Тому для визначення dHгодиться лише деяка прямолінійна ділянка, лежача між дуже великими і дуже малими значеннями 1/r (мал. 4.3), якщо, звичайно, він існує.
Мал. 4.3. Область визначення фрактальної розмірності (суцільна пряма)
Використання фрактальної розмірності дає можливість отримати ще одну важливу характеристику складних образів. Обширний круг додатків цього поняття описаний в книзі Мандельброта. Неважко виявити, що формула (4.2) встановлює деяке співвідношення подібності між об'єктами. Це, зокрема, відразу ж виявляється на наступній властивості.
Зв'язок з ренормализационной групою. Розгледимо деяку фігуру A0і її послідовні перетворення
(4.4)Одночасно з операцією, що полягає, наприклад, в збільшенні деталізації фігури Ai, розгледимо зміну масштабу r на чинник а:
(4.5)Тепер цікавитимемося деякій величиною V, що характеризує об'єм або поверхню фігури Ai. Розгледимо величину
(4.6)Якщо існує подібність при дія оператора
(4.7)то можна записати зв'язок між об'ємами V(An) і
у вигляді 
(4.8)де d – деяка міра.У спільному випадку співвідношення подібності (4.8) може виконуватися тільки в межі n > :, тобто
.(4.9)Звернемося тепер до послідовності фігур Ai, визначеної в (4.4), і передбачимо, що вона має нерухому точку A*. Тоді вираження (4.9) перетворюється на наступне:
(4.10)або еквівалентне співвідношення:
(4.11)Неважко відмітити, що визначення (4.10) для d збігається з визначенням dHпри а > :. Дійсно, згідно (4.5) тільки величина
(4.12)залежить в чисельнику формули (4.10) від а. Тому
З іншого боку, можна вважати оператора
за відповідного операторові ренормализационной групи, що має по припущенню нерухому точку A*. Співвідношення (4.10) виникло унаслідок існування нерухомої крапки.Описані вище міркування дозволяють поглянути на фрактальну розмірність як на розмірність подібності об'єму фігури, відповідній нерухомій крапці.
Слід зазначити, що ренормализационным властивістю може володіти і така характеристика системи, яка, взагалі кажучи, не пов'язана з розмірністю безлічі.
4.2 Фрактали і хаос
Хаос, що виникає з динамічних рівнянь, за природою своєю фрактальний.
Його фрактальний характер обумовлений тією властивістю траєкторій, яка перетворює їх з регулярних або періодичних в стохастичних. Дійсно, регулярна траєкторія має dH = dT= 1. Проте локальна нестійкість ускладнює траєкторію, роблячи її все більш заплутаною і непередбачуваною. Поява фрактальних властивостей в K-системахвідбувається в різних місцях і в різноманітних їх властивостях. Наведемо деякі приклади фрактального характеру К-систем.
Розмірність стохастичного аттрактора. Найбільш сильно фрактальні властивості виявляються на стохастичних аттракторах. Розгледимо для визначеності стандартне диссипативне відображення
(4.13)куди входять дві константи:
– коефіцієнт дисипації і K (або K0) – константа обурення. Якобіан відображення (4.13) рівний 
(4.14)і тому два характеристичні числа на n-мкроці відображення
і 
задовольняють нерівності 
(4.15)яке не залежить від n. Зокрема, при великих значеннях K > 1 майже усюди, за винятком малих областей по ? маємо оцінку
(4.16)Тепер за допомогою цієї інформації поставимо питання про хаусдорфовой розмірність стохастичного аттрактора, що породжується рівняннями (4.13).
Спершу покладемо, що відображення характеризується двома постійними, тобто не залежними від n характеристичними числами ?+ і ?-. Тоді цей факт можна уявити собі таким чином. Існує напрям, уздовж якого елемент фазового об'єму розтягується в ?+ раз і існує ортогональний напрям, уздовж якого фазовий об'єм стискується в ?- раз. Якщо у формулі (4.2) для dHвибирати
на n-мкроці відображення, то rnпрагнутиме до нуля при n > :. При цьому число областей, що покривають фазовий об'єм, рівне на n-мкроці
Використовуючи ці вирази, отримуємо
(4.17)Якщо відображення зберігає міру, то
і, отже, згідно (4.17) для нього
(4.18)Це і слід було чекати, оскільки стохастична траєкторія достатньо рівномірно заповнює плоскість унаслідок перемішування. Хоча розмірність (4.18) — ціла, то це фрактал, оскільки dH > dT = 1.У випадку
(4.19)з формули (4.17) маємо
, (4.20)тобто розмірність стохастичного аттрактора є дробом. Вона лежить в інтервалі (4.2), оскільки аттрактор заповнює фазову плоскість, утворюючи канторово безліч в перетині.
Повернемося тепер до відображення (4.13) і вважатимемо, що для його параметрів K і
виконані умови, що приводять до появи стохастичного аттрактора. Характеристичні числа 
залежать від n. В цьому випадку для хаусдорфовой розмірності виходить та ж формула (4.18), в якій слід перевизначити величини ?± таким чином: 
. (4.21)Вираження (4.21) можна сильно спростити, відмітивши, що воно прагне до деякої невипадкової межі. Випадковими є числа, оскільки вони залежать від змінних ?i, що належать стохастичному аттрактору. Представимо ?± з (4.21) у вигляді
.Унаслідок закону великих чисел права частка самоусредняется і дає
(4.22)Де
?(x, z) – стаціонарна функція розподілу на стохастичному аттракторе.
Підстановка (4.22) в (4.20) дає
(4.23)де введена К-атропія:
.При малих значеннях дисипації
розмірність аттрактора близька до двох: 
(4.24)