Загальні принципи моделювання (стр. 2 из 3)
3. Залежно від лінійності і нелінійності рівнянь - лінійні і нелінійні.
4. Залежно від множини значень змінних неперервні і дискретні.
5. За формою зв'язків між вихідними, внутрішніми і зовнішніми змінними - алгоритмічні й аналітичні.
6. Залежно від вигляду рівнянь, що використовуються у математичній моделі об'єкта, моделі підрозділяються на статичні і динамічні. У статичних моделях використовуються лінійні і нелінійні алгебраїчні рівняння і їхні системи, а в динамічних - лінійні і нелінійні диференціальні рівняння і їх системи.
Процес математичного моделювання включає наступні основні етапи:
I. Розроблення математичної моделі об'єкта
Цей етап є найбільш складним, трудомістким і відповідальним. На основі теоретичних знань, емпіричних і інтуїтивних підходів складаються математичні рівняння, що враховують найбільш важливі й істотні, з точки зору дослідника, властивості об'єкта. При розробці математичної моделі необхідно уникати невиправданого ускладнення моделі, відкидаючи несуттєві взаємозв'язки між характеристиками об'єкта. Як приклад розглянемо математичну модель асинхронного двигуна (АД). Рівняння механічної характеристики (за формулою Клосса):
є математичною моделлю АД, тому що відбиває одну з істотних властивостей - залежність між моментом і ковзанням у сталому режимі роботи АД. Однак дана модель у деяких випадках може виявитися недостатньо точною, тому що вона не враховує таких явищ, як насичення сталі і витіснення струму при пуску двигуна. У той же час у діапазоні ковзань 0≤≤ssk вона дає цілком задовільні результати.
Таким чином, при розробці математичної моделі необхідно прийняти допущення й обмеження на діапазоні застосування моделі.
II. Одержання рішень математичної моделі
На цьому етапі, попередньо задавшись значенням параметрів рівнянь, які є математичною моделлю, знаходять їхні рішення в аналітичному або чисельному вигляді. Для складних моделей рішення відшукують на ЕОМ.
Цей етап допускає розробку структурних схем для АОМ або розробку і налагодження програм для ЦОМ.
III. Оцінка адекватності отриманих результатів
Отримані з використанням моделі результати необхідно оцінити з точки зору їхньої відповідності основним фізичним законам і іншими обмеженнями.
1.4 Структура моделей
Перед тим , як почати розробку моделі, необхідно зрозуміти, що представляють собою структурні елементи, із яких вона складається. Хоча математичні і фізичні моделі можуть бути дуже складні, основи її побудови завжди прості. У загальному вигляді структуру моделі можна представити в математичному вигляді таким способом:
(1.1)де E- результат дії системи; Xi- змінні і параметри, якими можемо управляти; Yi-змінні і параметри, якими не можна управляти; f-функціональна залежність між Xi, Yi, що визначає змінну E.
Модель являє собою комбінацію таких складових: компонентів, параметрів, змінних, функціональних залежностей, обмежень і цільових функцій.
Компоненти - це складові частини, що при відповідному об'єднанні утворюють систему. Компонентами можуть бути як елементи системи, так і її частини (підсистеми). Система визначається як група або сукупність об'єктів, об'єднаних деякою формою регулярного впливу. Компоненти в цьому випадку можуть розглядатися як об'єкти.
Параметри - це величини, що можуть вибиратися довільно, на відміну від змінних, що можуть набувати значень, обумовлених виглядом даної функції. Параметри після того, як вони встановлені, є постійними величинами.
У моделі є два види змінних: вхідні і змінні стану. Вхідні - утворюються поза системою або є результатом впливу зовнішніх причин. Змінні стану - виникають у системі в результаті впливу внутрішніх причин. Деякі з них можуть бути вихідними змінними.
Функціональні залежності описують поводження змінних і параметрів у межах компонентів або виражають співвідношення між компонентами системи. Ці співвідношення можуть бути стохастичними або детермінованими. Детерміновані – це тотожності або визначення, що встановлюють залежності між певними параметрами і перемінними у випадках, коли процес на виході системи однозначно визначений. Стохастичні ж при даній вхідній інформації дають випадковий результат.
Обмеження встановлюють границі зміни значень змінних або умови розподілу тих або інших засобів. Вони можуть вводитися або розроблювачем (штучні обмеження), або самою системою внаслідок властивих їй ознак (природні обмеження).
Цільова функція (функція критерію) - відображення цілей і задач системи та необхідних правил оцінки їхнього виконання.
1.5 Методологічні основи формалізації функціонування складної системи
Будь-яка модель реальної системи є абстрактним, формально описаним об'єктом. Модель, як правило охоплює тільки основні, характерні властивості системи, залишаючи осторонь несуттєві, другорядні фактори.
Формалізації будь-якого реального процесу передує вивчення структури складових його явищ. У результаті цього з'являється змістовний опис процесу. Змістовний опис - це перша спроба чітко викласти закономірності, характерні для досліджуваного процесу, і визначити завдання.
Змістовний опис дає відомості про фізичну природу і кількісні характеристики елементарних явищ процесу, про характер взаємодії між ними, про місце кожного явища в загальному процесі. Змістовний опис може бути складений після детального вивчення процесу.
Визначення завдання повинне містити чіткий виклад ідеї передбачуваного дослідження, перелік залежностей, оцінки за результатами моделювання й установити ті фактори, що враховуються при побудові моделі. Сюди ж включаються дані, необхідні для дослідження: чисельні значення відомих характеристик і параметрів процесу (у вигляді таблиць, графіків), а також значення початкових умов. Змістовний опис служить для побудови формалізованої схеми і моделі процесу. Формалізована схема процесу розробляється в тому випадку, коли через складність процесу або труднощі формалізації деяких його елементів безпосередній перехід від змістовного опису до моделі неможливий або недоцільний. Формалізована схема розробляється спільно з фахівцями по моделюванню. Хоча форма опису може залишитися словесною, вона повинна бути строго формальним описом процесу.
Для побудови формалізованої схеми необхідно вибрати характеристики процесу; установити систему параметрів, що визначають процес; визначити всі залежності між характеристиками і параметрами з урахуванням чинників, що беруться до уваги при формалізації. При математичному моделюванні на етапі створення формалізованої схеми повинно бути дано чітке математичне формулювання завдань дослідження.
На цьому етапі додається уточнена сукупність усіх вихідних даних, відомих параметрів і початкових умов. Змістовний опис може не дати необхідних відомостей для побудови формалізованої схеми. У цьому випадку необхідні додаткові експерименти і спостереження за досліджуваним процесом. Подальше перетворення формалізованої схеми в модель виконується без введення додаткової інформації.
У математичному моделюванні для перетворення формалізованої схеми в математичну модель необхідно записати в аналітичній формі всі співвідношення, що ще не були записані, подати обмеження у вигляді системи нерівностей, а також надати аналітичну форму іншим відомостям, що містяться у формалізованій схемі, наприклад, числовим характеристикам у вигляді таблиць і графіків.
Для значень випадкових величин вибирають функції щільності типових законів розподілів.
Перед тим, як перейти до подальшого аналізу методів побудови моделей, необхідно розглянути деякі питання дослідження систем і процесів, які варто враховувати при упорядкуванні змістовного опису.
1.6 Характеристики і поводження систем
Звичайно використовують системний підхід до вивчення складних проблем, тобто вивчають поводження системи в цілому, а не тільки зосереджують увагу на окремих її частинах. Усім системам присутні властивості, що є причиною помилок при спробі поліпшити поводження системи. От деякі з них.
1. Мінливість. Жодна система не залишається незмінною протягом тривалого періоду. Елементи можуть бути включені в неї або навпаки - виключені.
2. Наявність навколишнього середовища. Будь-яка система є підсистемою більш великої системи. Середовище подане в системі зовнішніми параметрами, що можуть впливати на стан системи.
3. Не прогнозоване поводження.
4. Тенденція до погіршення характеристик. З часом частини системи зношуються, що знижує ефективність її функціонування.
5. Взаємозалежність. Ніякі дії в складній системі не можна ізолювати.
6. Організація. Частини в ієрархії підсистем, що взаємодіють у системі між собою, об'єднуються для виконання цільового призначення.
На етапі змістовного опису вирішується які компоненти системи будуть включені в модель, які елементи будуть виключені або будуть вважатися частиною навколишнього середовища, які структурні взаємозв'язки будуть установлені між ними.
При формуванні імітаційної моделі вирішальну роль відіграють експертні оцінки й інтуїція.
Першим кроком при створенні моделі є визначенні її цільового призначення, тому що не існує однозначного поняття «модель системи»; ми можемо моделювати її будь-яким способом залежно від того, що ми хочемо одержати. Тому елементи моделі і їхні взаємозв'язки повинні бути обрані з урахуванням специфіки задачі, які повинна вирішувати кожна система. Наприклад, якщо розглядати будинок , то будівельник розглядає його як об'єкт важкої роботи, а соціолог - як навколишнє середовище.