Зонна теорія електропровідності напівпровідників (стр. 3 из 6)
Рис.3.1. Утворення зон енергії з енергетичних рівнів при зближенні атомів, а – постійна гратки кристала.
10. Метод сильного зв'язку непридатний до зовнішніх валентних, електронам атомів кристалів, оскільки із-за великого перекриття хвильових функцій сусідніх атомів ширина енергетичної зони валентних електронів приблизно дорівнює відстані між рівнями енергії в ізольованому атомі або перевищує їх.
Розділ 4. Зони Бріллюена
При зміні хвильового вектора від 0 до π/а енергія електрона зростає неперервно, при
виникає перший розрив. Дала енергія знов зростає неперервно, але при 
знов виникає наступний розрив.Області значень хвильового вектора
при якому енергія електрона змінюється неперервно називають зонами Бріллюєна.4.1. Поняття про зони Бріллюена
В енергетичній зоні кристала є N енергетичних станів, яким відповідають значення компонент хвильового вектора:
(4.1)і компонент квазіімпульсу
(4.2)Деi=x, y, z, а j = 1, 2, 3.
Значенням квазіімпульсу в системі координат (рх, ру, рz) відповідатиме деяка область, побудована навколо початку координат і що містить всі можливі різноманітні стани. Ця область називається першою, або основною, зоною Брілюєна. Для кристала з простий кубічною граткою перша зона Брілюєна є кубом (рис. 4.1, а) об'ємом:
(4.3) 
Рис. 4.1 Перша зона Брілюєна для кристала з простою кубічною решіткою (а), кубічною об’ємноцентрованою (б), кубічною гранецентрованою решітками (в).
Оскільки об'єм першої зони Бріллюена для кристала з простими кубічними гратками дорівнює (h/а)3, а об'єм елементарної комірки h3/a3N, то число елементарних комірок в ній складає N, тобто рівне кількості енергетичних станів в зоні. Але в енергетичній зоні може розташовуватися 2N електронів, отже, і в першій зоні Брілюєна може бути 2N електронів, а в її кожній комірці може знаходитися тільки два електрони з протилежно направленими спінами.
Друга і наступні зони Бріллюена, які відповідають відповідно другій і наступним енергетичним зонам, мають складнішу конфігурацію, але їх об'єм залишається постійним. Вони також містять N елементарних комірок, кожну з яких можна надати у відповідність комірку в першій зоні, що описує еквівалентний стан.
4.2. Приведені зони
Операція побудови всіх енергетичних зон в межах першої зони, називається приведенням зон до першої зони, а самі зони, побудовані таким чином, називаються приведеними зонами. Приведення зон полягає в зсуві по осі енергій ділянок кривої E(k), що відносяться до різних зон, на відрізки, кратні 2π/а. На рис. 4.4 пунктиром показана 2-а, 3-а і частково 4-а приведені зони, горизонтальними стрілками – напрям зсуву при побудови цих зон, в розривах стрілок вказана величина зсуву. З рисунка видно, що у всіх непарних приведених зон в центрі розташовуються мінімуми, а на межах зон максимуми; у парних зон, навпаки, в центрі розташовуються максимуми, на межах – мінімуми.
Мал. 4.4. Перекриття енергетичних зон.
а) дозволені зони накладаються на заборонені; б) заборонені зони для різних напрямків кристалів накладаються одна на одну, утворюючи абсолютно заборонену зону для кристала в цілому.
Аналогічним чином будуються приведені зони для тривимірних кристалів. Оскільки періодичність решіток в тривимірному кристалі у різних напрямах може бути різною, то значення k, при яких настає бреггівське відбиття і виникають розриви в енергетичному спектрі електрона, будуть також різними: для напряму, уздовж якого періодичність решітки рівна а, розриви настають при
, для напряму з періодичністю b– при 
, для напряму з періодичністю с – при 
і так далі. Внаслідок цього область енергій, заборонена для певних напрямів, може перекриватися областями дозволених енергій для інших напрямів (рис. 4.4,а) і енергетичний спектр в цілому виявиться безперервним. Тільки у тому випадку, коли області заборонених енергій для всіх напрямів накладаються один на одного (рис. 4.4,б), в кристалі існуватимуть абсолютно заборонені області енергій і його енергетичний спектр збереже зонний характер.4.3. Ефективна маса електрона
Розглянемо рух електрона в кристалі під дією зовнішнього поля напруженості Е. Поле діє на електрон із силою F = eE. У випадкуцілком вільного електрона ця сила є єдиною. На електрон, який перебуває в кристалі, крім неї діє періодичне поле решітки. Тому рух електрона в кристалі виявляється значно більше складним, чим рух вільного електрона в потенційному ящику. Один з способів опису цього руху полягають у наступному. Швидкість руху електрона в кристалі дорівнює груповій швидкості поширення електронних хвиль і визначається формулою i
(4.10)За час dtзовнішня сила F виконує роботу з переміщення електрона, чисельно рівну:
(4.11)Диференціюючи по часу визначимо прискорення електрона:
(3.12) 
(3.13)Формула (3.13) встановлює зв'язок між прискоренням електрона й зовнішньою силою, що діє на нього з боку зовнішнього електричного поля Е. Вона виражає, отже, другий закон Ньютона. Із цієї формули видно, що під дією зовнішньої сили F електрон у періодичному полі кристала рухається в середньому так, як рухався б під дією цієї сили вільний електрон, якби він мав масу:
(3.14).Маса
називається ефективною масою електрона. Приписуючи електрону, що перебуває в періодичному полі кристала, масу 
, ми можемо вважати цей електрон вільним таописувати його рух у зовнішнім полі так, як описується рух звичайного вільного електрона. До речі, для вільного електрона, для якого 
, формула (3.14) дає: 
що, потрібно було очікувати.Необхідно підкреслити, що введення поняття ефективної маси є лише зручним способом опису поводження електрона в періодичному полі кристала. Сама ж ефективна маса не є масою у звичайному змісті слова. Вона не визначає ні гравітаційних, ні інерційних властивостей електрона. По величині вона може бути як більше, так я менше маси вільного електрона, за знаком – як позитивною, так і негативною.
4.4. Енергетична будова алмазоподібних напівпровідників.
Кремній і германій мають кристалічну структуру типу алмаза, що представляє собою дві гранецентровані кубічні решітки, зміщені одна щодо іншої на 1/4 просторової діагоналі. Елементарний осередок містить два атоми. Для них перша зона Брілюєна не є кубом, а має форму чотирнадцятигранника, зображеного на рисунку 4.5, де значення складових хвильового вектора
дані в одиницях 2п/а (а - ребро куба решітки).Розрахунок зонної структури напівпровідників являє собою складне завдання. Для германія й кремнію залежність Е (к) для довільно обраної точки к є рівнянням 146-й ступеня. Тому енергія була обчислена лише для деяких симетрично розташованих точок зони Брілюєна, для яких розрахунок сильно спрощується. Але й при цьому довелося чисельно розв’язувати рівняння 16-й степені. Дані для проміжних точок у зоні Брілюєна були отримані інтерполяцією. Результати теоретичних розрахунків уточнювалися порівнянням із даними експериментів, зокрема по циклотронному резонансу.
Рис. 4.5. перша зона Брілюєна для напівпровідника типу алмазу.
У атома кремнію є 14 електронів, а в атома германія – 32 електрона, які розподілені по зонах Брілюєна наступним чином:
Si1s22s22р63s23р2
Ge1s22s22р63s23р6d410S 24p2
У них остання оболонка не заповнена, у ній у р – стані є два електрони з паралельними спинами. Оскільки зона провідності й валентна зона кремнію й германія включають р - стан, для якого в кристалі виродження знімається, то кожна з них являє собою накладення трьох різних зон. На рис. 4.6 вони представлені трьома вітками Е(к). Ця залежність неоднакова для різних кристалографічних напрямків.
Рис. 4.6. енергетична структура германію та кремнію. Еg – ширина забороненої зони, знаком «+» зображено дірки в валентній зоні, знаком «-» електрони в зоні провідності.