Зонная теория твердых тел (стр. 2 из 8)
Рис.11
Волновые функции S и P – электронов образуют одну совершенно пустую гибридную SP – зону и одну заполненную гибридную SP – зону. Заполненная и пустая зоны разделены довольно значительным энергетическим интервалом или зоной запрещенных значений энергии. Для изоляторов типичное значение ширины запрещенной зоны ~ 5 эв и больше. Ширина запрещенной зоны для полупроводников (германия 0,67 эв, кремния 1,12 эв) находится в пределах 0,1 ¸ 3 эв.
Полупроводники и изоляторы отличаются друг от друга только шириной запрещенной зоны.
Рис.12
 |
§ Теорема Блоха
Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны
На функцию
, которая является периодической функцией в кристаллической решетке: 
Индекс
в 
указывает, что эта функция зависит от волнового вектора .Волновую функцию
называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бегущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами. 
Рис.13
Форма волнового пакета при t=0 для дебройлевских волн
. Амплитуда 
указана штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плоской волны вдоль оси Х можно описать функцией 
(1)Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы.
(2)Если время изменится на величину ∆t, то для того, чтобы соблюдалось условие (2), координата должна измениться на величину ∆х, которая может быть найдена из равенства
т.е.
(3)Отсюда скорость распространения постоянной фазы, получившей название фазовой скорости:
(4)Фазовая скорость фотонов (m0 = 0) равна скорости света
(5) 
, 
(6)Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V, можно написать
(7) 
, (7) 
т.е. она становится больше скорости света, поскольку V< с. Это говорит о том, что фазовая скорость не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.
Реальный процесс не может быть чисто монохроматическим (k = const). Он всегда обладает определенной шириной, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.
С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнового пакета распространятся со скоростью, которая получила название групповой скорости.
Амплитуда В волнового пакета
где A – амплитуда постоянная каждой из этих волн.
В распространяется со скоростью
Для фотонов (m0 = 0)
Для дебройлевских волн
т.е. групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы.
В точках
и т.д. 
Квадрат амплитуды обращается в нуль.
Область локализации волнового пакета
,где
- ширина волнового пакета. 
где
- время расплывания волнового пакета. 
Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Чем меньше
, тем шире 
. Для монохроматической волны 
,где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай.
Для нерелятивистского случая (m = m0) время расплывания волнового пакета
если m = 1г,
,то 
время расплывания чрезвычайно велико. В случае электрона m0 ~ 10-27г
(размеры атома), 
т.е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение, т.к. волновой пакет расплывается практически мгновенно.
Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времени, т.к. фотон всегда релятивистская частица.
Движение электрона в кристалле
Закон движения, сравнивая с
где 
где m* - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле.
- в зоне проводимости, 
в валентной зоне 
- в валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m0 = 9·10-28г 
и 
Эффективная масса – тензорная величина, в различных направлениях она различна, что является следствием анизотропных свойств кристаллов.
Ек – уравнение эллипсоида вращения и описывается двумя значениями масс
и 
Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е и K
Е(К) – функция квазиимпульса. Энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса.Импульс электрона
Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях.