Зонная теория твердых тел (стр. 3 из 8)

Электроны и дырки, обладающие волновым вектором

, могут сталкиваться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс

- называется квазиимпульсом.

Обозначение	Название	Поле
	Электрон	-
	Фотон	Электромагнитная волна
	Фонон	Упругая волна
	Плазмон	Коллективная электронная волна
	Магнон	Волна перемагничивания
---	Полярон	Электрон + упругая деформация
---	Экситон	Волна поляризации

На фононах рассеиваются рентгеновские лучи, нейтроны.

Импульсу

в квантовой механике отвечает оператор .

т.е. плоская волна Ψ_к является собственной функцией оператора импульса

, причем собственными значениями оператора импульса служат

Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем заполненном уровне

где n_F – квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня.

2n_F=N

где N – число электронов в объеме

Энергия - квадратичная функция квантового числа n_F.

Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для свободной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны:

при условии, что компоненты волнового вектора

принимают значения

аналогичные наборы для K_y и K_z. Любая компонента вектора имеет вид

, где

n – целое положительное или отрицательное число. Компоненты

являются квантовыми числами наряду с квантовыми числами

задающим направление спина.

т.е. собственные значения энергии

состояний с волновым вектором

В основном состоянии (1S) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные K_F, а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии она является сферой). K_F- радиус этой сферы

где

– энергия электрона с волновым вектором , оканчивающимся на поверхности сферы.

Каждой тройке квантовых чисел K_x, K_y, K_z отвечает элемент объема в К – пространстве величиной

. поэтому в сфере объемом число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных состояний равно

где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового квантового числа

( )

для каждого разрешенного значения

Полное число состояний равно числу электронов N.

Радиус сферы Ферми K_Fзависит лишь от концентрации частиц

и не зависит от массы m

Энергию Ферми можно определять как энергию таких квантовых состояний, вероятность заполнения которых частицей равна 1/2.

если Е=Е_F, то

значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле

Но абсолютный нуль температуры понимается как предел

Т ® 0,

имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паули.

Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой температуре, если граничная энергий

, это условие вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке»

Для таких систем, где можно пренебречь зависимостью Е_F от температуры и считать

Существуют таблицы параметров поверхности Ферми для ряда металлов, вычисленных для модели свободных электронов для комнатной температуры (Т = 300⁰К).

Концентрация электронов

определяется произведением валентности металла на число электронов в 1 см³.