Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил (стр. 2 из 2)

Исходные данные:

Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:

- траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки:

; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

Координаты (см)			Скорость (см/с)				Ускорение (см/с2)						кривизны (см)
x	y	z	Vx	Vy	Vz	V	Wx	Wy	Wz	W	Wτ	Wn
2.5	5.6	3.5	-5.4	3.2	3.5	7.2	-12	-8.3	0	14.6	5.3	15.5	3.6

«Определение реакций опор твердого тела».

Задание: Найти реакции опор конструкции.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

Определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести

, сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Силы, кН
S	XA	YA	ZA	XB	ZB
1.15	-6.57	0.57	-1	-12.57	2

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.

В 18. Д – 1.

Дано: V_A = 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X₁ :

= G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina - f×cosa)×t + C₁ , x₁ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 + C₁t + C₂ ,

По начальным условиям (при t = 0 x₁₀ = 0 и

= V_A = 0) находим С₁ и С₂ : C₁ = 0 , C₂ = 0,

Для определения V_B и t используем условия: в т.B (при t = t) , x₁ = ℓ ,

= V_B . Решая систему уравнений находим:

x₁ = ℓ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×t²/2 , Þt = 0,99 c ,

= V_B = g×(sina - f×cosa)×t V_B = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,

Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X , Y :

= 0 , = G ,

Дважды интегрируем уравнения:

= С₃ , = gt + C₄ ,

x = C₃t + C₅ , y = gt²/2 + C₄t + C₆ ,

Для определения С₃ , C₄ , C₅ , C₆ , используем начальные условия (при t = 0): x₀ = 0 , y₀ = 0 ,

= V_B×cosa , = V_B×sina ,

Отсюда находим :

= С₃ , ÞC₃ = V_B×cosa , = C₄ , ÞC₄ = V_B×sina

x₀ = C₅ , ÞC₅ = 0 , y₀ = C₆ , ÞC₆ = 0

Получаем уравнения :

= V_B×cosa , = gt + V_B×sina

x = V_B×cosa×t , y = gt²/2 + V_B×sina×t

Исключаем параметр t : y = gx² + x×tga ,

2V²_B×cos²a

В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение V_B и d , находим h: h = 9,81×3² + 3×tg30° = 5,36 м ,

2×4,03²×cos²30°