Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил (стр. 1 из 2)

«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»

Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V₀, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V₀ = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V², Н

L = 2.5, м

F_x = -8cos(4t), Н

Определить:

Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).

Решение:

1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим

и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

Далее находим:

Учитывая, что V_x = V:

или

Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и интегрируя:

По Н.У. при x = 0: V = V₀, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

и

В результате:

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим V_B:

2. Рассмотрим движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V₀ = V). Изобразим

, , и .

или , где

При t=0; V = V₀ = V_B = 8.29 м/с:

С₂ = V_B = 8.29 м/с.

К-3 Вариант 18

а^вр

А

a_AC_v

а^вр

a_c

а^цс

E_oaa^цсC

a_B

W_oa

a_B

О В

Y

a_B

X

Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 W_oa=2 E_OA=6

Найти: Ускорения во всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/2^1/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=2^1/22*BC/2ctg45=52^1/2/2

a_A^bp= E_oa*OA=60

a_A^цс=W_OA²*OA=40

a_B^цс= W_OA²*AB=80

a_B= a_A^bp +a_A^цс +a_AB^ЦС +a_AB^bp

X: 2^1/2/2*a_B= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^1/2/2*a_B= a_A^BP +a_AB^ЦС

a_AB^BP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100

E_AB=100/10=10

a_B= a_A^вp +a_A^цс +a_AC^ЦС +a_AC^вp

a_AC^вp = E_AB*АВ=50

a_AC^ЦС= W_AВ²*АС=40

X: 2^1/2/2*a_c= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^1/2/2*ac₌ a_A^BP +a_AB^ЦС

a_C=( a_cx² +a_cy²)^1/2

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

- траектория точки в координатной форме.

Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки:

; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

Координаты (см)		Скорость (см/с)			Ускорение (см/с2)					кривизны (см)
x	y	Vx	Vy	V	Wx	Wy	W	Wτ	Wn
2.5	5.6	-5.4	3.2	6.3	-12	-8.3	14.6	5.5	13.5	2.922

Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.