Исследование модели электролитического осаждения меди (стр. 4 из 4)
Пусть u=u(x1,x2,…,xn) – функция, определенная в любой точке действительных чисел. Градиентом u является N - вектор-функция, обозначаемая gradu и определенная следующим образом:
(1)В дальнейшем будем прежде всего иметь дело с функциями, определенными в плоских областях, т.е. при N = 2. Для функции u = u (х, у) имеем
(2)5.1 Нелинейный оператор Лапласа
Рассмотрим плоскую область
и функцию и =и(х,у), удовлетворяющую уравнению 
(3)где f =f(х,у ) - заданная на
функция, а р- действительное число, удовлетворяющее условию р > 1.Мы не знаем, имеет ли уравнение (3) какой-либо физический смысл. Тем не менее оно полезно с методологической точки зрения и мы будем часто им пользоваться, чтобы проиллюстрировать различные понятия и утверждения. Так как при р = 2 левая часть уравнения (3) представляет собой оператор Лапласа, а само уравнение (3) сводится к уравнению Пуассона, то можно называть
(4)выражение нелинейным оператором Лапласа.
Задача отыскания поверхности, задаваемой функцией и =и(х,у) для
и имеющей заданную форму на границе 
и заданную кривизну, является типичной нелинейной задачей. Она приводит к уравнению 
(5)и условию
5.3 Уравнения четвертого порядка
В рассмотренных выше задачах мы встретились с уравнениями второго порядка, являющимися нелинейными аналогами уравнения Пуассона. Сейчас рассмотрим уравнения, аналогичные уравнению равновесия пластины.
Рассмотрим еще раз плоскую область
и положим 
(6)тогда уравнение
(7)вместе с краевыми условиями
(8)описывает упругопластическую деформацию жестко зажатой пластины. Здесь функция g=g(t) задана при t > 0. Она характеризует материал, из которого сделана пластина. Функция f= f(x, у) характеризует нагрузку этой пластины. Условия (8) выражают тот факт, что пластина зажата вдоль границы.
Функция
где 
– положительная физическая константа, соответствует пластине в условиях ползучести материала.В 5.2 был введен нелинейный оператор Лапласа. Аналогично можно ввести нелинейный бигармоничеекий оператор
(9)При р = 2 получаем бигармонический оператор
. Как и раньше, мы не знаем, имеет ли уравнение с оператором (9) какую-либо физическую интерпретацию, однако оно может быть использовано дня моделирования различных теоретических соображений.6 Список использованных источников
1. Суху Р. Магнитные тонкие пленки./ Суху Р - М.: Мир, 1967.- 422 с.
2. Праттон М. Тонкие ферромагнитные пленки./ Праттон М. – Л.: Судостроение, 1967.- 266 с.
3. Bennet L. H.. Magnetic properties of electrodepositied copper-nikel composition-modulated alloys // Journ. Magn. And Magn. Materials.- 1987.- Vol. 67, No. 1.- P. 239 – 245.
4. Фельдман Л. Основы анализа поверхности и тонких пленок. – М: Мир, 1989. – 344 с.
5. Вакуумное оборудование тонкопленочной технологии производства изделий электронной техники: Учебник для студентов специальности «Электронное машиностроение»./ Н.В. Василенко, Е.Н. Ивашов, Л.К. Ковалев и др.; Под ред. Проф. Л.К. Ковалева, Н.В. Василенко.: В 2 т. Т.1.- Красноярск: кн. изд-во Сиб. аэрокосм. акад., 1995. – 256 с.
6. Математическое моделирование технологической операции электролитическое осаждения меди: Метод, разработка к лаб. работам по курсу "Математические модели технологических процессов " для студентов спец. 210104 /НГТУ; Сост.: А.В.Панкратов. Н.Новгород, 2005 - 11с.
7. 3ернов Н.В. Теория радиотехнических цепей / В.Г.Карпов, Н.В. 3ернов Издание 2-е, переработанное доп. «Энергия», 1990 – 130 с.
8. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / К.А. Семендяев, И.Н. Бронштейн – М: Наука, 1990. – 240 с.
9. Лекции по курсу «Математические модели технологических процессов»