Исследование процессов испарения и конденсации жидких капель (стр. 10 из 11)

(3.40)

(3.41)

Решение этих уравнений можно представить через детерминанты:

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Окончательно получим:

(3.45)

Можно получить и явную форму этих выражений:

(3.46)

3.5 Пограничный слой.

Следует учитывать, что, несмотря на то, что все выше полученные выражения точные, пока нет рецепта, как считать интегралы, входящие в выражения (3.42- 3.44). Для этого надо понять, как выбрать конкретный вид функции

. Вообще говоря, это может быть сделано при нахождении точного решения уравнения (3.8). Однако на данном этапе это невозможно. На самом деле известны свойства функции , поэтому ее можно подобрать, используя подгоночные параметры пробных функций. Для этого необходимо с помощью этой функции суметь подобрать правильный профиль концентрации паров вокруг частицы. Такой функцией может быть зависимость вида:

(3.47)

где величина параметра

- это характерное расстояние, на котором свободно молекулярный режим переходит в непрерывный. Множитель - описывает профиль концентрации конденсирующихся паров в безстолкновительном режиме, когда поток пропорционален плотности, а не ее градиенту. Поскольку поток пропорционален , то . Экспоненциальный множитель аппроксимирует переход от свободно молекулярного режима к непрерывному. Таким образом, вместо уравнения (3.36) получается:

(3.48)

Представленная интерпретация достаточно прямолинейна, чувствительность окончательного результата к величине

будет позже исследована. На рисунке 1 показан профиль концентрации при различных значениях величины . Вообще говоря, может быть найдена при помощи вариационных расчетов.

Рис. 1. Профиль концентрации вблизи поверхности частицы (см. уравнения (3.25), (3.34) и (3.47)). Концентрации нормированы на 1, расстояние измерено в длинах свободного пробега. Кривые 1-4 рассчитаны для

= 1, 3, 10, соответственно как функции расстояния от центра частицы. Радиус частицы а=1. Последняя кривая соответствует приближению скачка профиля концентрации: сам профиль концентрации получен из уравнения Фика, а граничные условия для концентрации пара - из решения кинетического уравнения (см. уравнение (3.59)).

Итак, найдём параметр

. Для этого построим функционал и минимизируем его численными методами с помощью ЭВМ. Итак, вспомним уравнение (3.13). Оно и станет основой для нашего функционала:

(3.49)

В результате преобразования получим:

(3.50)

Теперь можно записать функционал, который надо минимизировать относительно параметра

:

(3.51)

где

(3.52)

, (3.53)

, (3.54)

, (3.55)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

Вышеописанная модель была реализована в двух видах: в качестве программы на языке C с использованием библиотеки GSL, а так же в виде приложения пакета Mathcad. Рассмотрим полученные результаты:

Рис. 2. Значение функционала (3.51) в диффузионном (непрерывном) режиме

.

Рис. 3. Значение функционала (3.51) в переходном режиме

.

Рис. 4. Значение функционала (3.51) в свободномолекулярном (кинетическом) режиме

.

Мы видим, что функционал уменьшается с ростом

. Это соответствует скачку концентрации на поверхности частицы. Таким образом, модель оказалась чувствительной к скачку концентрации, то есть оправдывающей приближение, описанное ниже.

Рассмотрим влияние параметра на окончательный результат:

Рис. 5. Зависимость потока конденсирующихся паров

. Потоки нормированы на 1, расстояния измерены в длинах свободного пробега: а) - полная вероятность прилипания, кривая 1 соответствует

= 1, кривая 2 соответствует скачку концентрации ( ), показано также и отношение этих потоков; б) - при уменьшении приближение скачка концентрации дает лучшую точность

Из рисунка 5 видно, что окончательный результат не сильно зависит от параметра

. Максимальное отклонение между граничными значениями и не превышает 10% и уменьшается при уменьшении .

3.6. Приближение скачка концентрации на поверхности частицы

Рассмотрим случай, когда

. При больших функция ведет себя довольно резко (на расстояниях порядка ), при этом она изменяется от до (см. рис. 1). На предельном значении это изменение соответствует скачку концентрации между значениями и . Интегралы находятся в этом пределе. Конечно, это приближение оставляет правильным асимптотическое поведение потока при больших и малых значениях а. Если пренебречь выражением, пропорциональным , то можно из уравнений (3.40) и (3.41) получить:

(3.59)