Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов (стр. 3 из 3)

Используя введенные понятия мгновенной частоты при ЧМ, модулированный сигнал запишем в виде:

).

Если для ЧМ используется

, то , где - девиация частоты, равная максимальному отклонению мгновенной частоты ω(t) от ω₀. ∆ω – основной показатель сигнала с гармоническом ЧМ. Тогда при гармонической ЧМ y_ЧМ (t) имеет вид:

у_чм(t)=U_m0cos(φ₀t +

+φ₀)

Из анализа этой формулы видно, что при гармонической ЧМ возникает гармоническая ФМ с индексом

.

Для определения спектра сигнала с гармонической УМ можно использовать формулы у_фм(t) и у_чм(t), а так же используя тригонометрическое соотношение для косинуса суммы двух углов, получим: cos(βcosWt)=j₀(β) - 2j₂(β)cos2Wt + 2j₄(β)cos4Wt -…….;

sin(βcosWt)=2j₁(β)cosWt - 2j₃(β)cos3Wt + 2j₅(β)cos4Wt -…….,

где j_n(β) – бесселева функция первого рода n-го порядка.

Рисунок 6. Графики первых восьми функций Бесселя

Подставляя последние выражения в у_фм(t) и учитывая формулы для произведений тригонометрических функций, получим

у_чм(t)=j₀(β)U_m0cosω₀t – j₁(β)U_m0sin(ω₀+W)t – j₁(β)U_m0sin(ω₀-W)t –

- j₂(β)U_m0cos(φ₀+2W)t - j₂(β)U_m0cos(ω₀-2W)t +

+ j₃(β)U_m0sin(ω₀+3W)t + j₃(β)U_m0sin(ω₀-3W)t +

+ j₄(β)U_m0cos(ω₀+4W)t + j₄(β)U_m0cos(ω₀-4W)t - …..

Следовательно, при ФМ спектр колебаний содержит несущую и бесконечное число гармонических составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты. При использовании формулы для ЧМ - сигнала спектр будет отличаться от спектра ФМ – сигнала только начальными фазами отдельных спектральных компонент.

Амплитуды несущей и боковых составляющих в спектре сигнала с УМ определяются функциями Бесселя.

Если индекс угловой модуляции β=1, то j₀(β)=0,8 и j₁(β)=0,5, а другие функции Бесселя будут пренебрежительно малы. Таким образом, при β< 1 спектр колебаний с ЧМ похож на спектр с АМ, а ширина спектра сигнала при β<1 примерно равна 2W. При β>1образуются верхняя и нижняя боковые полосы, а значит ширина спектра примерно равна 2∆ω.

В настоящее время наиболее широко используются ЧМ и ФМ в радиовещании, в космической связи, в устройствах сотовой связи и в других системах передачи информации с малыми искажениями.

Для увеличения скорости передачи сообщений в современных системах связи и передачи информации используются смешанные виды модуляции. Например, в модемах используется амплитудно-фазовая или квадратурная модуляция.