Квантовая теория атома (стр. 2 из 4)
гдеn = 1, 2 …, ћ= h/2π, vn – скорость электрона на стационарной орбите радиусом rn.
Это условие может быть сформулировано в виде условия квантования длины стационарной орбиты электрона: так как
, 
, т.е. на длине стационарной орбиты электрона должно укладываться целое число длин волн де Бройля.Понятие орбиты электрона. С точки зрения квантовой механики орбита электрона – это геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может находиться электрон.
II постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон с энергией hν = Еn–Еm,
где Еn, Еm – энергии соответствующих стационарных состояний.
Излучение (испускание фотона) происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией: Еn> Еm . Электрон при этом переходит с более удаленной от ядра орбиты на более близкую.
Поглощение фотона сопровождается переходом атома в состояние с большей энергией: Еn< Еm, электрон переходит на более удаленную от ядра орбиту.
Набор возможных дискретных частот
квантовых переходов и определяет линейчатость спектров излучения атомов. Становится ясен физический смысл целых чисел в формулах Бальмера: 
, следовательно, энергия атома в n – ном стационарном состоянии 
, где n = 1, 2, 3 … Таким образом, целые числа nи mиз «сериальных» формул – это квантовые числа, определяющие дискретные квантованные значения энергии атомов.Водородоподобные системы по Бору.
Водородоподобные системы состоят из ядра с зарядом Z·qe и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Например: атом водорода (при Z= 1); ионизованные атомы He+, Li++ или другие атомы, из которых удалены все электроны, кроме одного.
Для водородоподобных систем из II -го закона Ньютона движения электрона по круговой орбите
и правила квантования орбит (me·vn·rn = nћ, т.е. 
) можно определить радиус n – ой орбиты электрона: 
.Для водорода (т.е. Z = 1) для основного состояния (т.е. n = 1) радиус первой орбиты электрона называется Боровским радиусом и обозначается а0:
.Вообще, энергетическое состояние с n = 1 называется основным или нормальным (невозбужденным), а все состояния атомов с n > 1 – возбужденными.
Полная энергия электрона в водородоподобной системе равна сумме кинетической энергии электрона и его потенциальной энергии в поле ядра:
.Так как
(из *), то 
или подставляя 
, получаем выражение для энергии электрона в n – ном стационарном состоянии: 
, где n = 1, 2, 3 …Для атома водорода (Z = 1):
, и для основного невозбужденного состояния (n = 1) 
.Из сравнения данного выражения для Еn и Еn из формулы Бальмера можно получить постоянную Ридберга:
и тогда 
.Физический смысл знака «–» в формуле для энергии электрона (энергия отрицательна) заключается в том, что электрон в атоме под действием силы притяжения к ядру находится в связанном состоянии. |Еn| называется энергией связи (энергией отрыва) электрона в n – ом состоянии; а состояние с n = ∞ соответствует свободному состоянию электрона, т.е. Е∞ = 0.
Экспериментальным подтверждением постулатов Бора явились опыты Франка – Герца (1913 г.) по изучению столкновений электронов с атомами газов (в частности, паров ртути) методом задерживающего потенциала.
Вылетающие с термокатода К и ускоренные сетками С1 и С2 электроны испытывали столкновения с атомами паров ртути (давление в запаянной трубке составляло ~ 1 мм рт. ст.). Это были как упругие соударения, при которых изменялось только направление движения электронов, а энергия оставалась неизменной, так и неупругие соударения, при которых часть энергии электронов передавалась атомам ртути. При этом согласно I–ому постулату Бора, атом ртути может принять не любое количество энергии, а только определенную энергию для перехода из одного стационарного состояния в другое. Ближайшее к основному невозбужденному состояние отстоит от него на 4,86 эВ. Действительно, при Ее< 4,86 эВ наблюдались только упругие соударения, при которых электроны не теряли свою энергию, и электронный ток на аноде IA увеличивался в ростом потенциала на второй сетке С2. Когда энергия, накапливаемая электронами в пространстве между катодом и сетками, достигала значения Ее = 4,86 эВ начинались неупругие соударения. Энергия электронов уменьшалась, ее оказывалось уже недостаточно для преодоления потенциала задержки φзадерж между сеткой С2 и анодом А, и ток IA резко уменьшался. Аналогичный спад тока IA наблюдался и при φ2 = 2·4,86; 3·4,86 … и т.д., когда электроны испытывали 2, 3 … неупругих соударения с атомами ртути.
Эксперименты Франка – Герца подтвердили и второй постулат Бора. Атомы ртути, перешедшие из-за столкновений с электронами в возбужденные состояния, испускали УФ излучение, что соответствовало длине волны λ = с/ν = с·h/(Е2 – Е1) = 255 нм.
Недостатки теории Бора:
1. Внутренняя противоречивость, непоследовательность (соединение классической физики и квантово-механических постулатов).
2. Никак не объяснялось различие интенсивностей спектральных линий излучения, т.е. не было объяснения тому, что некоторые энергетические переходы оказываются более вероятными, чем другие.
3. Не позволяла создать теоретические модели более сложных атомных систем, например, гелия всего с двумя электронами в атоме.
Теория Бора была заменена последовательной квантовой теорией, учитывающей волновые свойства микрочастиц, получившей название квантовая (волновая) механика.
Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода.
Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с положительным зарядом Z·qe и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Потенциальная энергия взаимодействия между ними
. Силовое поле, в котором движется электрон, является центрально–симметричным (потенциальная ловушка гиперболического вида), поэтому целесообразно использовать сферическую систему координат, где r – радиус-вектор, θ – полярный угол, φ – азимутальный угол. Переход от декартовой системы координат к сферической осуществляется по следующим формулам: 
.Легко проверить, что тогда выполняется соотношение
.Оператор Лапласа
в сферических координатах имеет вид 
Стационарное уравнение Шредингера
для рассматриваемой задачи можно записать как 
, или в сферических координатах 
Для решения дифференциальных уравнений такого типа используется метод разделения переменных, поэтому решение ищется в виде
или, совмещая функции угловых координат 
. При дифференцировании по r функция 
считается постоянной, при дифференцировании по угловым координатам θ и φ функция R(r) – также постоянной.После подстановки
в уравнение получаем 
Умножим обе части уравнения на
и проведем разделение переменных, тогда