Кінематика і динаміка матеріальної точки (стр. 3 из 4)

Рис.1

Вектор переміщення співпадає з ділянкою траєкторії лише прямолінійному русі. При криволінійній траєкторії шлях не співпадає з переміщенням. Але, якщо взяти достатньо мале переміщення, то з визначеною точністю можна замінити відрізок шляху DS вектором переміщення

. Таке мале переміщення називається елементарним переміщенням.

Шлях, пройдений тілом, являється функцією часу. При рівномірному русі швидкість тіла визначається просто як шлях, пройдений тілом за одиницю часу.

Для більш повної характеристики змінного руху вводять поняття миттєвої швидкості. Якщо за невеликий проміжок часу

тіло проходить шлях

, то швидкість дорівнюватиме:

(I)

Величина миттєвої швидкості (швидкість в даній точці шляху) рівна границі до якої наближається відношення приросту шляху до відповідного приросту часу при умові, що

наближається до нуля.

(2)

В математиці ця границя називається похідною від шляху по часу і позначається так:

(3)

Формулу (3) можна записати і через нескінченно мале переміщення

(4)

Вектор швидкості співпадає по напрямку з нескінченно малим переміщенням (тобто з дотичною до траєкторії) і чисельно рівний похідній від шляху до часу. В більшості випадків при русі швидкість змінюється і по величині і по напрямку. Для характеристики зміни швидкості вводиться поняття прискорення.

В випадку прямолінійного нерівномірного руху середнє прискорення за проміжок часу Dt дорівнює відношенню зміни швидкості до цього проміжку часу.

;

(5)

Прискорення, яке тіло має в даний момент (в даній точці шляху) дорівнює границі, до якої наближається права частина рівняння (5) при зменшенні проміжку часу Dt до нуля, тобто дорівнює похідній швидкості від часу.

(6)

Враховуючи, що швидкість дорівнює похідній шляху по часу, знаходимо, що прискорення дорівнює другій похідній шляху по часу:

(7)

Таким чином, якщо відомий шлях тіла як функція часу, то легко визначити його швидкість і прискорення в будь - який проміжок часу.

З курсу середньої школи відомі ще такі співвідношення кінематики (знайти їх інтегруванням):

;

де

- швидкість тіла в момент часу t = 0; S - шлях пройдений тілом за t часу.

III. Динаміка матеріальної точки. закони ньютона. інерціальні системи відліку. принцип відносності галілея

Як уже було сказано, кінематика вивчає рух тіл, не розглядаючи причини, що обумовили цей рух. Динаміка ж розглядає закони руху тіл і ті причини, які його викликають чи змінюють. Динаміка є основним розділом механіки, в її основі лежать закони Ньютона.

Перший закон Ньютона:

Всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія з боку других тіл не заставить його змінити цей стан.

Властивість тіл зберігати стан спокою та рівномірного прямолінійного руху при відсутності дії на нього інших тіл називається інерцією. Тому перший закон називають також законом інерції.

Для формулювання другого закону Ньютона необхідно ввести нові фізичні величини: маси, імпульсу і сили.

З першого закону Ньютона випливає, що будь - яке тіло чинить опір при намаганні привести його в рух чи змінити швидкість. Ця властивість називається інертністю. Надати одне і те ж прискорення великому каменю важче, ніж маленькому. Міра інертності тіла називається масою. Добуток маси тіла на його швидкість називається імпульсом тіла (кількістю руху).

Імпульс є вектор, який має напрямок швидкості. При взаємодії тіл (удар, тяга) виникає явище двоякого роду: змінюється швидкість (значить і імпульс) або виникає деформація (тобто змінюється форма і розмір). Фізична величина, яка є мірою механічної взаємодії тіл, називається силою. Силу можна виміряти по величині деформації пружини. Сила - величина векторна.

Другий закон Ньютона (основний закон динаміки).

Зміна імпульсу (матеріальної точки) пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається по напрямку тої прямої, по якій ця сила діє.

(9)

тобто

;

(10)

(10) - рівняння руху матеріальної точки.

Якщо маса тіла стала, останнє рівняння запишеться так:

(11)

Із (9) маємо:

Третій закон Ньютона:

Сили, з якими діють одне на друге тіла, завжди рівні по модулю, протилежно напрямлені і діють вздовж прямої, що з’єднує центри мас цих тіл.

;

Інерціальною системою координат називають таку систему, в якій справедливий перший закон Ньютона (закон інерції). Відносно інерціальних систем закони руху мають найбільш простий вигляд.

Галілей сформулював принцип, згідно якому в двох інерціальних системах, що рухаються прямолінійно і рівномірно одна відносно другої, механічні процеси протікають однаково.

Для доведення розглядають дві інерціальні системи відліку.

Рис.2

(12)

Продиференціювавши вираз (12), одержимо:

(13)

Це закон складання швидкостей. Тобто швидкість тіл залежить від системи координат, вони відносні.

Знайдемо прискорення в нерухомій та рухомій системі координат, виходячи з перетворень Галілея.

;

(14)

Тобто

Співвідношення (14) є доказом принципу відносності Галілея: рівняння динаміки при переході від однієї інерціальної системи до другої не змінюються.

Із рис.3 видно, що

Значить

, тобто віддаль між двома точками при переході від однієї системи до другої не змінюється (інваріантно).

А координати точок при переході від однієї системи до другої змінюються. Отже, є відносні величини, які залежать від вибору системи координат і які не залежать від вибору системи, названі інваріантними величинами.