Когрентність другого порядку як об’єкт експериментального дослідження (стр. 5 из 6)

Поставимо на шляху променів, які пройшли крізь першу призму, другу таку саму призму, розміщену паралельно першій, але з заломлюючим кутом, поверну тим у протилежний бік. Ми дістанемо знову пучок білого світла. Такі досліди були проведені у свій час Ісааком Ньютоном, який дійшов висновку, що біле світле має складну структуру і складається із світла різних кольорів. Ньютон умовно поділив суцільний спектр на сім ділянок різних кольорів: червоний, оранжевий, жовтий, зелений, блакитний, синій і фіолетовий. Другий важливий висновок Ньютона полягав у тому, що світле різного кольору характеризується різними показниками заломлення в даному середовищі. Найбільший показник заломлення в склі мають фіолетові промені, найменший — червоні. Відомо, що різниця в показниках заломлення обумовлена різницею в швидкостях поширення хвиль. Тому можна сказати, що світло різного кольору має різну швидкість поширення в даному середовищі.

Залежність показника заломлення (а, отже, і швидкості світла) від його кольору називають дисперсією світла.

Розкладанням білого світла на кольори внаслідок заломлення пояснюється виникнення райдуги. Нехай на завислу у повітрі краплю води падає сонячний промінь. На межі повітря — вода відбувається заломлення променів. При певному куті падіння на внутрішній поверхні краплі відбувається повне відбивання променів всередину краплі. Відбиті промені, заломлюючись повторно на межі вода — повітря, виходять з краплі. Оскільки фіолетові промені заломлюються сильніше, ніж червоні, то після виходу з краплі вони розходяться: червоні промені утворюють з падаючим променем кут близько 43°, а фіолетові — близько 41°.

Сонячні промені можна вважати паралельними. Тоді виходить, що від безлічі краплинок, які містяться на поверхні конуса з кутом при вершиш aч= 43°, в око спостерігача потраплятимуть червоні промені, а від крапель з поверхні конуса з кутом при вершині aф = 41° — фіолетові. Решта кольорів райдуги розміщаються між ними.

Знання складної структури білого світла дає можливість пояснити походження різноманітних барв у природі, кольори різних тіл. Колір непрозорого тіла визначається сумішшю променів тих кольорів, які воно відбиває. Якщо тіло рівномірно відбиває промені всіх кольорів, то при освітленні білим світлом воно здається білим. Червоне тіло з падаючого на нього білого світла відбиває головним чином червоні промені, а решту поглинає; голубе тіло відбиває голубі промені і т. д.

Колір прозорого тіла визначається складом того світла, яке проходить крізь нього. Якщо, наприклад, трава й листя дерев здаються нам зеленими тому, що з усіх падаючих на них сонячних променів вони відбивають лише зелені, то зелений колір скла обумовлений тим, що воно пропускає промені лише зеленого кольору, а решту поглинає.

Властивості когерентних хвиль 2-го порядку

При дослідженні когерентних властивостей одномодових електромагнітних полів Глаубером і Тітулаєром [3.1] були встановлені ряд нерівностей для мір когерентності довільного порядку gn полей0, що мають позитивно-певне Р-представлення оператора щільності:

[3.1]

Для загального квантового випадку Ченд [3.2] отримав нерівності у вигляді (у позначеннях Глаубера)

[3.2]

Слід звернути увагу на те, що в загальному випадку міри когерентності не обов'язково утворюють зростаючу послідовність; крім того, в нерівності (3.2) входять не лише міри когерентності, але і ще один параметр — середнє число фотонів в моді. Цей параметр грає істотну роль: якщо значення його менше п— 1, то всі нерівності починаючи з цього номера стають тривіальними і на відповідні gn жодних обмежень немає.

Покажемо, що для мір когерентності вищих порядків загалом квантовому випадку існують сильніші нерівності, ніж нерівності (3.2). На їх основі будуть встановлені точні нижні кордони значень gn. Відзначимо, що знак рівності в (3.2) має місце лише для полів із заданим числом фотонів. Як відомо, такі доля володіють найбільшим антикореляційним ефектом. З огляду на те, що до цих пір не ясно, яким чином можна генерувати поля із заданим числом фотонів, стає очевидною важливість знаходження точного нижнього кордону можливих значень мір когерентності вищих порядків в загальному випадку. Це тим більше необхідно при визначенні мір когерентності вищих порядків, оскільки вимір їх пов'язано із значними труднощами.

За визначенням

де а - оператор знищення фотонів.

Розгляд почнемо з міри когерентності другого порядку. Утворюємо вираження наступного вигляду:

[3.3]

де pj — діагональні матричні елементи оператора щільності р одне-модове поле в представленні чисел заповнення

до — довільне ціле число.

Знак нерівності у вираженні (3.3) виходить з позитивності кожного доданку. Співвідношення (3.3) можна переписати так:

[3.4]

За визначенням, тоді

[3.5]

Отримана нерівність справедлива при будь-якому до. Таким чином, міра когерентності другого порядку g2 повинна задовольняти цілій серії нетривіальних нерівностей (fe=l, 2,...), число яких визначається п. З них при заданому п потрібно вибрати таке, в якого права частина в (3.5) найбільша. Неважко показати, що для п, лежачого в інтервалі

[3.6]

саме права частина формули (3.5) буде найбільшою. Враховуючи цю обставину, нерівність (3.5) зручно записати у вигляді

[3.7]

де

—ціла частина п. З отриманого вираження видно, що при Δ=0, 1 (середнє число фотонів в моді рівно цілому числу) воно переходить у відому нерівність (3.2) при п=2. Порівняння отриманої нерівності (3.7) з відомим (3.2) показує, що нижній кордон можливих значень міри когерентності другого порядку для випадку, коли п — не ціле число, мається в своєму розпорядженні вищим на величину

Тим самим встановлений точний нижній кордон значень для міри когерентності другого порядку:

[3.8]

У тому, що це є саме точний нижній кордон, можна переконатися таким чином. Поля, в яких, фізично не реалізовуються, бо інакше порушилося б співвідношення (3.3), яке повинне бути справедливым для всіх без виключення полів. В той же час поля з існують при будь-якому п. Наприклад, поле, в якого відмінні від нуля лише, є саме поле з мінімальною мірою когерентності другого порядку. Відзначимо, що при 0 і, отже, міра когерентності другого порядку може набувати будь-яких позитивних значень. На рис. 3.1 представлені нижній кордон можливих значень g2 згідно (3.2) і точний нижній кордон (3.8) (криві 1 і 2, відповідно).

Рисунок 3.1 Нижній кордон можливих значень g2

З позитивності форми вигляду

[3.9]

слідує нерівність для міри когерентності третього порядку:

[3.10]

Оскільки до довільно, то можна показати аналогічно тому, як це було зроблено при виводі (3.7), що максимальне значення правої частини нерівності (3.10) досягається для к==E(g2n+l). При цьому отримуємо нерівність для g3 у вигляді

[3.11]

де . У класичній межі (п>1) (3.11) переходить в одну з нерівностей (3.1). Нескладно переконатися, що отримана нерівність (3.11) для g3 сильніша, ніж нерівність (3.2) при п=3. Відзначимо, що нерівність (3.11) не лише сильніше раніше відомого, але і встановлює нижній кордон для g3 в тих областях n де відома нерівність виявлялася тривіальною. Права частина (3.11) дає нам точний нижній кордон значень міри когерентності g3 як: функцію g2 і п. На рис. 3.2 приведені нижній кордон значень g3 згідно (2) і точний нижній кордон, розрахований по (11) (криві 1 і 2, відповідно) для полів, в яких g2—2.

Рисунок 3.2 Нижній кордон значень g3

Для міри когерентності довільного порядку виходять наступні нерівності:

[3.12]

де

— біномінальні коефіцієнти. У зв'язку з високою мірою цілочисельного параметра до в загальному вигляді не представляється можливим вибрати таке, для якого права частина в (3.12) найбільша. Це можна зробити, лише задаючи чисельно всі менші по порядку міри когерентності і п.

При завданні лише одного параметра п нерівність для міри когерентності довільного порядку gn виглядає так:

[3.13]

При Δ=0 або 1 (п — ціле число) (3.13) зводиться до відомої нерівності. Для п<п—1+Δ права частина в (3.13) перетворюється на нуль і відповідні gn можуть набувати будь-яких позитивних значень.

Висновок

Когерентність – погоджене протікання в просторі і в часі декількох коливальних або хвилевих процесів, при якому різниця їх фаз залишається постійною. Це означає, що хвилі (звук, світло, хвилі на поверхні води і ін.) поширюються синхронно, відстаючи одна від одної на сповна певну величину. При складанні когерентних коливань виникає інтерференція; амплітуду сумарних коливань визначає різниця фаз.