Основная задача механики (стр. 1 из 3)

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	R3	δ, см	s, м
m	1/2m	5m	4m	25	0,20	2

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄. (3)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J_2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w₂ – угловая скорость барабана 2:

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где V_C3 – скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w₃ – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести

:

(16)

Работа силы тяжести

:

(17)

Работа пары сил сопротивления качению

:

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести

:

(17)

Работа силы тяжести

:

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и

, определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R₂=30; r₂=20; R₃=40; r₃=40

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=7

=0

t₂=2 x₂=557 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=7

C₁=0

557=C₂ *5²+0*5+7

25C₂=557-7=550

C₂=22

X=22t²+0t+7

=V=22t

a=

=22

V=r₂

₂

R₂

₂=R_{3 3}

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

₃= ₃=0,825

V_m=r₃*

₃=40*(0,825t)=33t

a^t_m=r₃

=0,825t

a^t_m=R₃

=40*0,825t=33t

aⁿ_m=R₃

²₃=40*(0,825t)²=40*(0,825(t)²

a=

***********************************

Дано :R₂=15; r₂=10; R₃=15; r₃=15

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=6

=3

t₂=2 x₂=80 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=10

C₁=7

80=C₂ *2²+3*2+6

4C₂=80-6-6=68

C₂=17

X=17t²+3t+6

=V=34t+3

a=

=34

V=r₂

₂

R₂

₂=R_{3 3}

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

₃= ₃=3,4

V_m=r₃*

₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

a^t_m=r₃

=3,4t