Основные понятия и элементы линейных пассивных электрических цепей (стр. 3 из 5)

, где

U_ab– напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;

ΣE – алгебраическая сумма ЭДС, находящаяся в этой ветви

Применение законов Кирхгофа

1. Устанавливается условно положительное направление тока.

2. Выбираются независимые контуры (контур, содержащий хотя бы один новый элемент).

3. Составляются уравнения по I закону Кирхгофа. Их число равно:

(1)

где N_y – число узлов;

N_н – число источников напряжений, если они расположены между узлами, не имеющими сопротивлений.

4. Составляется уравнение по II закону Кирхгофа:

(2)

где N_B– число ветвей, N_y – число узлов;

N_T – число источников тока, если они расположены между узлами, не имеющими проводимостей.

При составлении уравнений по IIзакону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, т.е. не содержащие источников тока.

Выбирается направление обхода контуров (произвольно).

При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранными направлениями обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного обхода, - отрицательными.

При записи правой части равенства со знаком «плюс» берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), и со знаком «минус», падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Решение:

К_I = N_y – 1 – N_н = 4 – 1 – 0 = 3

Выбираем (·)a, (·)b, (·)c.

(·)a: I₃ – I₁ = 0

(·)b: I₄ – I₂ – I₃ = 0

(·)c: I₆ + I₁ – I₄ = 0

K_II = N_B – (N_y – 1) – N_T = 6 – (4 – 1) – 0 = 3

R₃ I₃ + R₁ I₁ + R₄ I₄ = E₁ (I)

R₁ I₁ – R₅ I₅ – R₆ I₆ = E₁ (II)

R₂ I₂ + R₆ I₆ + R₄ I₄ (III)

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений исходное напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения U_mnможно написать уравнение для контура mncb или nmbc:

U_mn + I₄ R₄ + I₃ R₃ = E₁или - I₃ R₃ – U_mn – I₄ R₄ = - E₁

откуда легко можно найти искомое напряжение (необходимо при рассмотрении метода узловых потенциалов)

Анализ линейных электрических цепей при гармонических воздействиях.

Гармоническое возмущение – ток, напряжение или ЭДС, меняющиеся по гармоническому закону, записываются:

i(t) = I_msin(ωt + Ψ_i);

u(t) = U_msin(ωt + Ψ_u);

e(t) = E_msin(ωt + Ψ_e).

I_m, U_m, E_m – амплитуды;

(ωt + Ψ) – фазы;

Ψ – начальные фазы этих величин.

Их действующие значения равны:

Амперметры и вольтметры, предназначенные для измерения тока, напряжения и ЭДС, меняющихся по гармоническому закону, градуированы в действующих значениях измеряемых величин.

Мы будем изучать методы анализа установившихся режимов линейных электрических цепей, составленных активными сопротивлениями, индуктивностями и ёмкостями при гармонических воздействиях. Сложность расчёта таких цепей обусловлена тем обстоятельством, что напряжения на индуктивностях и ёмкостях сдвинуты по фазе относительно токов через них протекающих.

Прежде всего, рассмотрим основные соотношения в линейных пассивных элементах цепи при гармоническом воздействии.

Активное сопротивление.

u = U_msinωt

Индуктивный элемент.

i = I_m sinωt

Емкостной элемент.

u = U_m sinωt

Анализ последовательной цепи переменного тока

Мы показали, что при заданном токе напряжения пассивных элементов будут следующими:

Все рассмотренные элементы объединим в последовательную цепь; ток в ней известен. Определим параметры мгновенного значения ЭДС.

Неизвестная ЭДС также будет иметь вид гармонической функции.

-

Данное выражение представляет собой уравнение для электрической цепи, записанное по II закону Кирхгофа (для установившегося режима).

Полагая, в частности, ωt = π/2 и ωt = 0, получим RI_m = U_mcosφ; (ωL – 1/ωC)I_m = U_msinφ.

Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, получим:

[R² + (ωL – 1/ωC)]I_m² = U_m²

Откуда находим связь между амплитудами тока и напряжения:

Если в той же последовательной цепи заданной будет ЭДС: e = E_msinωt, то i = I_msin(ωt– φ).

Полученные соотношения можно использовать для расчёта мгновенных значений напряжения и тока в последовательной цепи, питаемой от источника гармонической ЭДС.

Рассмотрим несколько примеров.

Задана ЭДС.

Необходимо определить i(t), u_R(t), u_L(t), u_C(t)

Задано u_C (t)

Анализ параллельной цепи переменного тока

При заданном гармоническом напряжении, ток в каждом элементе электрической цепи будет следующим:

Объединим эти элементы в параллельную цепь и зададим ЭДС источника. Неизвестный ток этого источника найдём в виде i=I_msin(ωt – φ)