Основы гидрогазодинамики (стр. 2 из 9)
; 
; 
; 
5. Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца)
Из теоретической механики известно, что скорость движения любой точки твердого тела складывается из поступательного вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс:
. Для жидкой частицы основная теорема кинематики гласит, что скорость движения любой точки жидкой частицы складывается из скорости квазитвердого движения и деформационного. Квазитвердое состоит из поступательного вращательного: 
. Для доказательства рассмотрим движение точки М с координатами x, y, z, которая находится в окрестности точки М0 (x0, y0, z0) и составляющая для точки М0скорости (u0, υ0, w0), тогда раскладывая функцию скорости в ряд Тейлора и сохраняя компоненты первого порядка малости, составляющие скорости для точки М можно записать: 
Преобразуем первое уравнение. Для этого разноименные части представим следующим образом:
; 
- первая теорема Гельмгольца квазитвердое движение деформационное движение
6. Тензор скоростей деформации
Компоненты
, входящие в скорость деформации, могут быть представлены в виде матрицы, которая называется тензором скоростей деформации:  |
- диагональные компоненты.Тензор симметричен относительно главной диагонали
Рассмотрим диагональные компоненты. В жидкости выделим отрезок АВ длиной dx (отрезок на оси х). Рассмотрим перемещение отрезка вдоль оси х. Скорости в точках А и В не равны. Через время dt отрезок займет положение
. Произошла линейная деформация отрезка АВ на величину: 
Если разделим линейную деформацию на длину отрезка:
скорость линейной деформации – скорость растяжения или сжатия линейного отрезка расположенного на оси х в направлении оси х. Аналогично:
скорости относительных линейных деформаций вдоль соответствующих осей. Сумма диагональных компонент определяет дивергенцию вектора скорости, т.е.
закон относительного изменения объема.
Рассмотрим перемещение отрезка АВ расположенного на оси х и длиной dx в направлении оси dy).
Ввиду малости угла
угловая деформация линейного отрезка в направлении оси у.
скорость угловой деформации или скорость скашивания в направлении оси у. Если отрезок расположить на оси у, то
- скорость скашивания в направлении оси х. 
- средняя скорость угловой деформации в плоскости ху. Таким образом недиагональные компоненты характеризуют скорости скашивания или угловых деформаций в соответствующих плоскостях.
7. Уравнение сплошности
Уравнение сплошности – это уравнение закона сохранения массы:
Выделим в жидкости элементарный объем
с плотностью ρ.Следовательно:
Второй член полученного уравнения выражает закон относительного изменения объема,. Т.е. дивергенцию.
Плотность в общем случае зависит от координат и времени:
Поэтому:
уравнение сплошности (неразрывности).
Если течение стационарное, то уравнение упрощается:
Если жидкость несжимаемая, т.е.
, то 
8. Нормальное и касательное напряжение, действующие в движущейся жидкости
Закон сохранения количества движения для неизолированной системы может быть записан в виде:
где
- главный вектор количества движения системы 
- главный вектор внешних сил, действующих на системуВ жидкости выделим элементарный тетраэдр с гранями
, 
, 
, 
. Индекс показывает перпендикулярно какой оси расположены грани, - наклонная грань. К граням приложены соответствующие напряжения 
, 
, 
, 
(не перпендикулярные граням). Масса тетраэдра 
. На тетраэдр действуют массовые и поверхностные силы. Массовые характеризуются вектором плотности 
, поверхностные – напряжениями.
- скорость центра инерции тетраэдра 