Основы физики атмосферы (стр. 2 из 6)

откуда после интегрирования следует формула Больцмана

где

— так называемая высота однородной атмосферы.

В соответствии с формулой Больцмана давление с высотой меняется экспоненциально, причем Н определяет масштаб спадания давления по высоте, т. е. на высоте Н давление падает в е раз. Формула для плотности будет аналогичной, потому что при постоянной температуре плотность пропорциональна давлению. Высоту однородной атмосферы можно выразить и через массу т одной молекулы:

Численная оценка дает величину около 8 км:

Заметим, что уже на высотах в несколько километров спадание давления и плотности воздуха значительно, например, на высоте 2,5 км плотность составляет 70% от плотности на уровне моря. Однако, как правило, в атмосфере происходят заметные изменения температуры с увеличением высоты, и приближение

изотермической атмосферы явно неприменимо. Более подходящим приближением при рассмотрении перемещения частиц воздуха является адиабатическое приближение. При таком анализе обычно выделяется малая частица, представляющая собой «физически бесконечно малый» объем, но достаточно большая, в том смысле, что она содержит много молекул. Иными словами, предполагается, что частица достаточно велика по сравнению с масштабами микроструктуры среды и достаточно мала по сравнению с внешними характерными масштабами задачи. Поскольку воздух — плохой проводник тепла и его теплопроводность низка, можно считать, что по мере перемещения этой частицы с потоком других частиц, с ветром, она слабо обменивается энергией с окружающей средой, т.е. можно использовать адиабатическое приближение. Такая простейшая модель, тем не менее, отражает основное физическое явление и объясняет многие процессы в атмосфере.

Рассмотрим адиабатический процесс в атмосфере. Первое начало термодинамики имеет вид

Здесь приращение тепла δQравно приращению внутренней энергии dU = C_VdTплюс работа ЗА = PdV. Отметим, что в общем случае только приращение внутренней энергии dUявляется полным дифференциалом. Для частицы, которая будет перемещаться, не меняя своей энергии, можно написать δQ = О, т.е. приток тепла равен нулю, взаимодействие с окружающей средой отсутствует или, по крайней мере, пренебрежимо мало за время этого перемещения. Если мы хотим получить зависимость Р(Т), надо перейти от дифференциала dVк дифференциалу dP. Это несложно сделать, используя уравнение состояния идеального газа. Дифференцируя логарифм соотношения (13.1), получим

После интегрирования получается связь

Это так называемое тождество Майера. Далее, используя тождество Майера, заменяем дифференциал dVна dPв (13.5) и получаем

уравнение адиабатического процесса:

Отсюда отношение температур равно отношению давлений в степени R/Cp. Универсальная газовая постоянная равна, как известно, разности теплоемкостей

Тогда, заменяя Rна разность Ср — Сv, получим для адиабатического процесса формулу

в которой отношение температур есть отношение давлений в степени 1 — 1/y где y⁼Ср/С_v . Воздух при нормальных условиях состоит в основном из молекул N2 и О2. У таких двухатомных молекул при типичных атмосферных температурах колебательные степени свободы не возбуждаются, поэтому они имеют 5 степеней свободы и молярную теплоемкость при постоянном объеме Су = 5/2 R, а молярную теплоемкость при постоянном давлении Ср = 7/2 R, тогда y = 7/5.

При адиабатическом подъеме, естественно, будет происходить охлаждение частиц воздуха. Давление в частице меняется так же, как и давление внешней среды. Частица — это условный элемент объема, в котором достаточно много молекул, и по мере перемещения воздуха давление в частице все время равно давлению среды. Но по мере подъема будет происходить изменение температуры частицы, и этот градиент температуры, полученный в адиабатическом приближении, называют адиабатическим градиентом температуры. Уравнение адиабатического процесса (13.6) связывает, заменяя приращение давления через гидростатическое равенство (13.4), получим уравнение для температуры при таком адиабатическом подъеме:

Адиабатический градиент температуры по высоте отрицателен и представляет собой отношение ускорения свободного падения gк удельной теплоемкости воздуха при постоянном

давлении

.

Полученное численное значение градиента больше, чем в реальной атмосфере ( ≈ 6-6,5 К). Завышение величины температурного градиента связано с точностью адиабатического приближения, но, главное, здесь не учтено, что при конденсации водяного пара будет выделяться тепло и поднимающаяся частица будет охлаждаться слабее, т. е. рассмотренное здесь охлаждение сильнее, чем в реальной атмосфере.

Подставляя сюда гидростатическое соотношение для приращения давления (13.4), получим

и далее аналогично (13.7)

Рассмотренные выше процессы относятся к сухоадиабатическим процессам. Название сухоадиабатический процесс не означает, что воздух сухой, он может содержать и водяной пар, но его уравнение близко к уравнению состояния сухого воздуха, пока не происходит выделения скрытой теплоты конденсации. Во влажноадиабатическом процессе происходит выделение скрытой теплоты. С выделением такой теплоты ситуация существенно меняется. В первом начале термодинамики для влажноадиаба-тического процесса будет фигурировать скрытая теплота δQ, отнесенная к массе, которая пропорциональна произведению относительного содержания dq (q— безразмерная величина) влаги в воздухе и удельной теплоты парообразования L. Поэтому выделение тепла (со знаком «минус», поскольку при dq> 0 тепло уходит из системы) определяется соотношением.

Итак, dT/dz — равен сухоадиабатическому градиенту минус добавка, в которую входит изменение относительного содержания пара в воздухе. Производную dq/dz— удобно переписать через производную по температуре:

Отсюда для влажно-адиабатического градиента получаем формулу

Добавок к единице в знаменателе представляет собой положительную величину, поскольку относительная плотность qс температурой растет. Получается, что влажноадиабатический градиент y_s равен сухоадиабатическому градиенту y_a, деленному на величину, большую 1, т.е. он меньше сухоадиабатического градиента:

В качестве иллюстрации адиабатических процессов рассмотрим адиабатический подъем и последующее опускание частиц воздуха, например, при обтекании возвышенностей и гор (рис. 13.1, а). На рис. 13.1, б изображена диаграмма адиабатических процессов, иллюстрирующая изменение температуры

с высотой. При перемещение частицы вверх из точки О (с температурой T₀на высоте z = 0) температура линейно спадает. Когда температура уменьшается до температуры конденсации Т_с, на высоте конденсации z_cобразуется облако. Далее происходит выпадение осадков из этого облака и выделение скрытой теплоты конденсации, что уменьшает охлаждение воздуха. Поэтому у влажноадиабатического процесса (между точками С и A) наклон —— меньше, чем у сухоадиабатического.

После того как выпадут все осадки, воздух становится сухим, и далее происходит спуск в долину (между точками Л и В).Из диаграммы несложно понять, что если стартовать с температуры Tq, то завершается процесс с другой температурой Т_в, которая всегда больше T₀. Подобное выпадение осадков в горах и повышение температуры воздушного потока достаточно часто наблюдается в природе и хорошо иллюстрирует сухо- и влажноадиабатические процессы. Если осадки остаются на горе, то в долину спускается сухой и теплый воздух. Такой ветер называется фён.

Устойчивость атмосферы

Термодинамическую устойчивость атмосферы также можно рассмотреть в рамках адиабатического приближения. Устойчивость атмосферы зависит от вертикального профиля температуры. Предположим, что в неподвижном слое атмосферы температура линейно убывает с высотой ∆z, например, как это происходит в тропосфере. Градиент температуры данного слоя характеризуется параметром β: