Плаваючий потенціал електростатичного зонду в плазмовому гетерогенному середовищi (стр. 4 из 5)

(2.2)

Тут

- густина об’ємного заряду в області зайнятій зондом, у наближенні Томаса-Фермі для електронів провідності металу визначається як

(2.3)

де

– маса електрона; постійна Планка; F – електрохімічний потенціал електронів запиленої плазми; електрохімічний потенціал матеріалу зонда ( ).

Враховуючи симетрію завдання та збереження зондом у рівновазі із запиленою плазмою деякого усталеного (осередненого за часом) розподілу внутрішнього самоузгодженого електростатичного потенціалу

, доповнимо рівняння Пуасона-Фермі (2.2) граничними умовами у центрі

; (2.4)

приходимо кінцево до задачі Коши (2.2 – 2.4) щодо визначення поля

в об’ємі зонду.

В праву частину рівняння Пуасона-Фермі входить густина об’ємного заряду

(2.3), яка самоузгодженим чином пов’язана з локальними значеннями потенціалу, позаяк його значення безпосередньо входять до граничних умов (2.4). Отже для остаточного визначення розподілу потенціалу в об’ємі зонду необхідно скористуватись умовами зарядової стабільності зонду у плазмі, що, по-перше, випливають із закону збереження заряду та дають умову неперервності нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонду; по-друге, виражають факт балансу потоків електронів через його поверхню. Математично це зводиться до умов спряження самоузгодженого потенціалу на поверхні зондуючого тіла. Поставлене таким чином завдання має єдиний розв’зок щодо розподілу самоузгодженого потенціалу всередині та околі зонду та однозначно вирішує проблему його електростатичної зарядки. Загалом задача Коши (2.2 – 2.4) не має розв’язків у квадратурах і потребує залучення методів обчислювальної математики. Однак, для більшості видів термічної запиленої плазми електростатична енергія електронів в контактному шарі зонду є за модулем набагато меншою енергії Фермі речовин зонду, при цьому потенціал , і вираз (2.3) для об’ємного заряду допускає лінеаризацію за потенціалом. Не обмежуючись у загальному, в наступному розділі розглянемо вирішення проблеми зарядки електростатичного зонду з використанням лінійної апроксимації за потенціалом для правої частини рівняння Пуасона-Фермі.

3. Розв’язок рівняння для потенціалу для електростатичного зонду в гетерогенному плазмовому середовищі.

Запилена плазма є невпорядкованим середовищем, у якому в системі координат зонду розподіли концентрацій заряджених частинок (електронів, іонів, конденсованих частинок) покладаємо підпорядкованими максвел-больцманівській статистиці. Треба зауважити, що у випадку нерівноважних процесів та дії джерел термостату, питання про розподіл зарядів в газовій підсистемі запиленій плазми потребує окремого дослідження. В нерівноважній запиленій плазмі, яка характеризується стаціонарним полем термодинамічних параметрів в об’ємі, виходячи з принципу локальної термодинамічної рівноваги Кубо [13], формули рівноважної термодинаміки необхідно використовувати для областей локальної термодинамічної рівноваги разом з подальшим осередненням (з врахуванням градієнтів) на макрооб’єми.

Потенціал зонда та концентрація електронів у приповерхневому шарі його максвел-больцманівської атмосфери пов’язані співвідношенням

(3.1)

– локальна концентрація електронів в областях де самоузгоджений потенціал обертається до нуля (в дебаєвських моделях екранування в запиленій плазмі співпадає з середньооб’ємною); ”зовнішній” потенціал поверхні зонда відрахований від рівня вакууму (рівня потенціальної енергії електрона, що покоїться у вакуумі при відсутності зовнішніх полів). В моделі необмеженої слабкоіонізованої запиленої плазми, утвореної електронами, іонами, ідентичними конденсованими частинками та буферним газом [14], рівняння Пуасона-Больцмана для розподілу самоузгодженого електростатичного потенціалу в зовнішній відносно власного об’єму зонда області має дебаєвський розв’язок

, (3.2)

де:

нормований на енергію Фермі речовини зонда потенціал;

– (3.3)

інвертована дебаєвська довжина зарядів плазми,

відповідно середньооб’ємні зліченні концентрації електронів, іонів та макрочастинок сорту “j”; осереднене зарядове число “j - ї” конденсованої частинки:

– (3.4)

значення потенціалу поверхні зонду, отримане із “зовнішньої задачі” (ze - заряд зонду,

діелектрична проникність буферного газу). В умовах статистичної рівноваги заряд зонду та його потенціал досягають певних сталих величин, які визначаються тільки параметрами плазми та характеристиками зонду і є незалежними від предісторії їх встановлення. Неперервність самоузгодженого електростатичного потенціалу та нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонда є фізичними умовами, що в кінцевому підсумку дають змогу записати функціональні співвідношення між параметрами запиленої плазми та рівноважними значеннями заряду і потенціалу зонда. Оскільки електрони поверхневого (контактного) шару зонду знаходяться в стані динамічної рівноваги з електронним компонентом запиленої плазми, то, згідно з відомим положенням статистичної теорії [15], локальний електрохімічний потенціал електронної підсистеми повинен бути однорідним впродовж запиленої плазми і мати певне усталене значення F. Концентрація електронів на нескінченості, де їх потенціальна енергія покладається нульовою, буде

(3.5)

Поблизу поверхні зонда у відповідності з больцманівським розподілом (3.1)

(3.6)

Поверхнева концентрація електронів газової фази (3.6) утворює потік електронів прилипання, який врівноважується електронами емісії, що інжектуються поверхнею зонду у газову фазу. Динамічна рівновага цих потоків реалізується для певного значення заряду зонда Z, і є умовою його зарядової стійкості.

Розв’язок задачі Коши (2.2 – 2.4) з використанням лінійної апроксимації для правої частини рівняння Пуасона-Фермі (2.2) за “внутрішнім потенціалом”

доцільно проводити в термінах допоміжних змінних

(3.7)

В (3.7) і далі позначкою “~” відмічаємо нормування “енергетичних” величин на

. У змінних (3.7) задача Коши для розподілу самоузгодженого потенціалу в об’ємі зонда має вид

(3.8)

Загальний розв’язок (3.8) буде

(3.9)

Таким чином, повертаючись до вихідних змінних

, запишемо