Понятие о физической величине. Международная система единиц физических величин СИ (стр. 6 из 10)

Однако, на практике невозможно провести слишком много измерений, поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение х₀. В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать

, а достаточно точной оценкой ошибки измерений – выборочную дисперсию , вытекающую из нормального закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерений. Такое название величины объясняется тем, что из всего множества значений х_i, т. е. генеральной совокупности выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины х_i(равное n), называемых выборкой. Выборка характеризуется уже выборочным средним значением и выборочной дисперсией.

Тогда выборочная средняя квадратическая погрешность отдельного измерения (или эмпирический стандарт)

, (2.8)

а выборочная средняя квадратическая погрешность ряда измерений

. (2.9)

Из выражения (2.9) видно, что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическую погрешность

. При n> 10 заметное изменение величины достигается лишь при весьма значительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно. К тому же, невозможно полностью исключить систематические погрешности, и при , меньшей систематической ошибки дальнейшее увеличение числа опытов также не имеет смысла.

Таким образом, задача нахождения приближенного значения физической величины и его погрешности решена. Теперь необходимо определить надежность найденного действительного значения. Под надежностью измерений понимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал. Интервал (

– e, + e), в котором находится с заданной вероятностью истинное значение х₀, называют доверительным интервалом. Допустим, что вероятность отличия результата измерений х от истинного значения х₀ на величину, большую, чем e, равна 1 – a, т. е.

p(

– e< х₀ < + e) = 1 – a. (2.10)

В теории ошибок обычно под eпонимают величину

. Поэтому

p(

– < х₀ < + ) = Ф(t), (2.11)

где Ф(t) – интеграл вероятности (или функция Лапласа), а также нормальная функция распределения:

, (2.12) где .

Таким образом, чтобы охарактеризовать истинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительный интервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение х₀ попадает в данный интервал. Высокая степень надежности необходима при ответственных измерениях. Это означает, что в таком случае нужно выбирать большой доверительный интервал или вести измерения с большей точностью (т. е. уменьшить величину

), что можно сделать, например, многократным повторением измерений.

Под доверительной вероятностью понимается вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

В подавляющем большинстве экспериментальных задач доверительная вероятность составляет 0.9

0.95 и более высокая надежность не требуется. Так при t= 1 согласно формулам (2.10 –2.12) 1 – a= Ф(t) = 0.683, т. е. более 68 % измерений находится в интервале ( – , + ). При t= 2 1 – a= 0.955, а при t= 3 параметр 1 – a= 0.997. Последнее означает, что в интервале ( – , + ) находятся почти все измеренные значения. Из данного примера видно, что интервал действительно содержит большинство измеренных значений, т. е. параметр aможет служить хорошей характеристикой точности измерений.

До сих пор предполагалось, что число измерений хотя и конечно, но достаточно велико. В действительности же число измерений почти всегда бывает небольшим. Более того, как в технике, так и в научных исследованиях нередко используют результаты двух-трех измерений. В этой ситуации величины

и в лучшем случае могут определить лишь порядок величины дисперсии. Существует корректный метод для определения вероятности нахождения искомого значения в заданном доверительном интервале, основанный на использовании распределения Стьюдента (предложенного в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом). Обозначим через интервал, на который может отклоняться среднее арифметическое значение от истинного значения х₀, т. е. Dx= х₀ – . Иными словами, мы хотим определить значение

.

Тогда

, (2.13)

где S_nопределяется формулой (2.8). Эта величина подчиняется распределению Стьюдента. Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметров х₀ и sнормальной генеральной совокупности и позволяет при небольшом числе измерений (n< 20) оценить погрешность Dx=

– х_iпо заданной доверительной вероятности aили по заданному значению Dxнайти надежность измерений. Это распределение зависит только от переменной t_aи числа степеней свободы l= n– 1.

Распределение Стьюдента справедливо при n

2 и симметрично относительно t_a= 0 (см. рис. 3). С ростом числа измерений t_a-распределение стремится к нормальному распределению (фактически при n> 20).

Доверительную вероятность при заданной погрешности результата измерений получают из выражения

p(

– < х₀ < + ) = 1 – a. (2.14)

При этом величина t_aаналогична коэффициенту tв формуле (2.11). Величину t_aназывают коэффициентом Стьюдента, его значения приводятся в справочных таблицах. Используя соотношения (2.14) и справочные данные можно решить и обратную задачу: по заданной надежности aопределить допустимую погрешность результата измерений.

Распределение Стьюдента позволяет также установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточно большом nсреднее арифметическое значение

будет как угодно мало отличаться от истинного значения х₀.

Предполагалось, что закон распределения случайной погрешности известен. Однако часто при решении практических задач не обязательно знания закона распределения, достаточно лишь изучить некоторые числовые характеристики случайной величины, например среднее значение и дисперсию. При этом вычисление дисперсии позволяет оценить доверительную вероятность даже в случае, когда закон распределения погрешности неизвестен или отличается от нормального.