Понятие о физической величине. Международная система единиц физических величин СИ (стр. 7 из 10)

В случае, если проведено всего одно измерение, точность измерения физической величины (если оно проведено тщательно) характеризуется точностью измерительного прибора.

3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Часто при проведении эксперимента встречается ситуация, когда искомые величины и(х_i) непосредственно определить невозможно, однако можно измерить величины х_i.

Например, для измерения плотности rчаще всего измеряют массу mи объем V, а значение плотности рассчитывают по формуле r= m/V.

Величины х_iсодержат, как обычно, случайные погрешности, т. е. наблюдают величины x_i' = x_i

Dx_i. Как и ранее, считаем, что x_iраспределены по нормальному закону.

1. Пусть и = f(х) является функцией одной переменной. В этом случае абсолютная погрешность

. (3.1)

Относительная погрешность результата косвенных измерений

. (3.2)

2. Пусть и = f(х, у) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность

, (3.3)

а относительная погрешность составит

. (3.4)

3. Пусть и = f(х, у, z, …) является функцией нескольких переменных. Тогда абсолютная погрешность по аналогии

(3.5)

и относительная погрешность

, (3.6)

где

определяются согласно формуле (2.9).

В таблице 2 приводятся формулы для определения погрешностей косвенных измерений для некоторых часто встречающихся формул.

Таблица 2

Функция u	Абсолютная погрешность Du	Относительная погрешность d_u



e^x
ln x
sin x
cos x
tg x
ctg x
x y
xy
x/y

4. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Все приведенные выше доверительные оценки как средних значений, так и дисперсий основаны на гипотезе нормальности закона распределения случайных ошибок измерения и поэтому могут применяться лишь до тех пор, пока результаты эксперимента не противоречат этой гипотезе.

Если результаты эксперимента вызывают сомнение в нормальности закона распределения, то для решения вопроса о пригодности или непригодности нормального закона распределения нужно произвести достаточно большое число измерений и применить одну из описанных ниже методик.

Проверка по среднему абсолютному отклонению (САО). Методика может использоваться для не очень больших выборок (n < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:

. (4.1)

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение

. (4.2)

Если данное неравенство (4.2) выполняется, то гипотеза нормальности распределения подтверждается.

Проверка по критерию соответствия c² ("хи-квадрат") или критерию согласия Пирсона. Критерий основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими, которые можно ожидать при принятии гипотезы о нормальности распределения. Результаты измерений после исключения грубых и систематических ошибок группируют по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось и чтобы количество данных в каждом интервале было достаточно большим (не менее пяти). Для каждого интервала (х_i_–1, х_i) подсчитывают число т_iрезультатов измерения, попавших в этот интервал. Затем вычисляют вероятность попадания в этот интервал при нормальном законе распределения вероятностей р_i:

, (4.3)

Далее вычисляют сумму

, (4.4)

где l – число всех интервалов, n – число всех результатов измерений (n = т₁ + т₂ +…+ т_l).

Если сумма, рассчитанная по данной формуле (4.4) окажется больше критического табличного значения c², определяемого при некоторой доверительной вероятности р и числе степеней свободы k= l– 3, то с надежностью р можно считать, что распределение вероятностей случайных ошибок в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.

Проверка по показателям асимметрии и эксцесса. Данный метод дает приближенную оценку. Показатели асимметрии А и эксцесса Е определяются по следующим формулам:

, (4.5)

. (4.6)

Если распределение нормально, то оба эти показателя должны быть малы. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками. Коэффициенты сравнения рассчитываются соответственно:

, (4.7)

. (4.8)

Распределение можно считать нормальным, если коэффициенты С_А и С_Е не превышают величины 2…3.

5. МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ОШИБОК

При получении результата измерения, резко отличающегося от всех других результатов, возникает подозрение, что допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия измерения. Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки резко отличающихся значений решается путем сравнения его с остальными результатами измерений. При этом применяются различные критерии, в зависимости от того, известна или нет средняя квадратическая ошибка s_iизмерений (предполагается, что все измерения производятся с одной и той же точностью и независимо друг от друга).

Метод исключения при известной s_i. Сначала определяется коэффициент tпо формуле

, (5.1)

где x* – резко выделяющееся значение (предполагаемая ошибка). Значение

определяется по формуле (2.1) без учета предполагаемой ошибки x*.