Применение гироскопов (стр. 1 из 4)

Гироскопом называется массивное тело, быстро вращающееся вокруг одной из своих главных осей инерции. Изменение вектора момента количества движения гироскопа в результате действия на него внешних сил называется прецессией. Точный расчет скорости прецессии сложен. В первом приближении принимают, что ось вращения гироскопа, мгновенная ось вращения и направление вектора момента количества движения совпадают. Поэтому прецессию можно наблюдать, если следить за движением оси гироскопа.

Существуют гироскопы с тремя степенями свободы (оси возможного вращения) ротора гироскопа обеспечиваются двумя рамками карданова подвеса. Если на такое устройство не действуют внешние возмущения, то ось собственного вращения ротора сохраняет постоянное направление в пространстве. Если же на него действует момент внешней силы, стремящийся повернуть ось собственного вращения, то она начинает вращаться не вокруг направления момента, а вокруг оси, перпендикулярной ему (прецессия).

Рис. 1. ГИРОСКОП С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ (с двумя рамками карданова подвеса), кинематическая схема. I_y – ось собственного вращения ротора, вдоль которой направлен его кинетический момент; I₀ – опорное направление кинетического момента; j – угол отклонения внутренней рамки карданова подвеса; w_j – угловая скорость поворота внутренней рамки подвеса (прецессия); M_q – момент возмущающей внешней силы; w_q – угловая скорость поворота внешней рамки подвеса (нутация).

В хорошо сбалансированном (астатическом) и достаточно быстро вращающемся гироскопе, установленном на высокосовершенных подшипниках с незначительным трением, момент внешних сил практически отсутствует, так что гироскоп долго сохраняет почти неизменной свою ориентацию в пространстве. Поэтому он может указывать угол поворота основания, на котором закреплен. Именно так французский физик Ж.Фуко (1819–1868) впервые наглядно продемонстрировал вращение Земли. Если же поворот оси гироскопа ограничить пружиной, то при соответствующей установке его, скажем, на летательном аппарате, выполняющем разворот, гироскоп будет деформировать пружину, пока не уравновесится момент внешней силы. В этом случае сила сжатия или растяжения пружины пропорциональна угловой скорости движения летательного аппарата. Таков принцип действия авиационного указателя поворота и многих других гироскопических приборов. Поскольку трение в подшипниках очень мало, для поддержания вращения ротора гироскопа не требуется много энергии. Для приведения его во вращение и для поддержания вращения обычно бывает достаточно маломощного электродвигателя или струи сжатого воздуха.

На рис.1 изображен гироскоп, укрепленный в кардановом подвесе. Наружное кольцо А карданова подвеса может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси аа. Внутреннее кольцо Б связано с кольцом А горизонтальной осью бб. В кольце Б укреплен гироскоп Г, ось вращения которого ев перпендикулярна оси бб. Центр тяжести гироскопа находится на пересечении всех трех осей и при любом повороте колец сохраняет свое положение в пространстве.

Движение гироскопа с закрепленным центром тяжести Описывается уравнением моментов

где М — момент внешних сил, N — момент количества движения гироскопа. Дальнейшие выкладки поясняются векторной схемой рис. 2; расположение гироскопа и обозначения осей те же, что и на рис. 1.

рис.1.

Пусть вначале М =0, а гироскоп вращается с угловой, скоростью , так что N=Jw(J момент инерции гироскопа относительно оси вращения). Если затем к оси гироскопа приложить вертикальную внешнюю силуР, то возникнет момент силМ, лежащий в горизонтальной плоскости. Обратившись к уравнению (1) и рис. 2 и 3, нетрудно понять, что векторы М и N ортогональны друг другу, а векторdN направлен так же, как иМ, поэтому силаР, не изменяя величины вектора /V, заставляет его конец описывать окружность в горизонтальной плоскости. За

рис.2 рис.3

время dt проекция вектора N на горизонтальную плоскость повернется на угол dj, причем, как следует из (1) и рис. 2,

где а — угол, который вектор N составляет с вертикалью. Таким образом, угловая скорость Q вращения вектора N равна

или, в векторной форме,

[WN]=M (2`)

Если ось гироскопа горизонтальна (рис. 3), то вместо .(2) получим

W=M/N (2``)

В быстро вращающемся гироскопе направление вектора момента количества движения приблизительно совпадает с направлением оси самого гироскопа. Поэтому под действием внешнего момента М ось гироскопа тоже начнет вращаться вокруг вертикальной оси с угловой скоростью W, описывая в пространстве конус. Поскольку вектор М поворачивается вместе cN таким образом, что их взаимное расположение не меняется со временем, вращение оси гироскопа при постоянной силе Р оказывается равномерным. Это вращение называется регулярной прецессией, а величина W — угловой скоростью прецессии.

Как уже отмечалось выше, приведенные рассуждения справедливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т. е. при

W<<w (3)

В- этих условиях можно считать, что N»Jw, где J — момент инерции гироскопа относительно его собственной 'оси вращения. Тогда

(4)

Скажем несколько слов по поводу неравенства (3). Нетрудно видеть, что вектор полного момента количества движения гироскопа при наличии прецессии содержит две компоненты: Jw) и J1W (J1 — момент инерции гироскопа относительно его диаметра). Таким образом, вектор полного момента количества движения N, строго говоря, не совпадает по направлению с вектором угловой скорости w (с осью гироскопа). Этим несовпадением можно, однако, пренебречь при J1w<<Jw. Моменты инерции J и J1в нашем случае оказываются величинами одного порядка; в этом случае условием применимости формулы (4) является неравенство (3), которое. в обычных гироскопах выполняется очень хорошо (величины W и w отличаются друг от друга по крайней мере на три порядка).

В настоящей работе требуется определить угловую скорость вращения гироскопа по его регулярной прецессии.

Экспериментальная установка и методика измерения. Гироскоп (рис. 1) представляет собой миниатюрный электромотор 1, подвешенный к горизонтальному стержню. Стержень вместе с гироскопом может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси, укрепленной в вилке 2. Вращение в горизонтальной плоскости происходит вместе с вилкой в подвесе 3. Для увеличения момента инерции мотор снабжен маховиком 4. Мотор питается постоянным током.

Рис.1

Уравновесим гироскоп и включим мотор. Даже при всей возможной тщательности в уравновешивании гироскоп начинает медленно прецессировать, поворачиваясь в горизонтальной плоскости. Это происходит, очевидно, потому, что вертикальная ось вращения гироскопа не проходит точно через его центр масс. Следовательно, момент силы тяжести, а также момент силы трения относительно вертикальной оси отличен от нуля. Уравнение (2) для этого случая можно записать в виде:

где My — момент сил тяжести и трения относительно вертикальной оси.

Заменяя в уравнении (4) угловую скорость периодом, получим:

(5)

Сохраняя скорость вращения гироскопа неизменной (не меняя напряжения, поданного на мотор);

нагрузим свободный конец

стержня гироскопа гирькой весом Pi, подвесив ее на расстоянии, /I от вертикальной оси вращения. Момент силы тяжести примет новое значение:

(6)

но

и следовательно (7)

Поделив (5) на (7), получим

(8)

Последнее равенство может служить для проверки соотношения (2).

Задание. Произведите измерение скорости прецессии уравновешенного гироскопа при трех положениях (/

груза, отличных от положения равновесия.

Для измерения подайте на обмотки двигателя напряжение 220 В, и выждите 2—3 мин, удерживая стержень в горизонтальном положении. Плавно отпустите стержень и подсчитайте с помощью секундомера время трех полных оборотов стержня. Закончив измерения скорости прецессии, подайте на обмотки мотора напряжение 200 В. Дайте мотору раскрутиться, а затем выключите его и в течение времени, пока движение мотора замедляется, сделайте 3—4 замера периода прецессии. Произведите проверку равенства (8) по данным измерений.