Пружні хвилі (стр. 2 из 4)
3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Рис. 2
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
(8)де Е ─ модуль Юнга;
─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х.В граничному випадку при
, рівняння (8) запишеться так 
(9)Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
(10)Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
(11)Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
(12)де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
m = ρSΔx. (13)
Рис.3
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
(14)Розглянувши граничний випадок при якому
, з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням 
(15)Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
(16)Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)
(17)Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
(18)Але оскільки
, то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд 
(19)Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
(20)Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G
(21)Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
(22)Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
(23)Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.
4. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля
. (24)Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки малий, щоб швидкість хвилі
і швидкість деформації 
у всіхйого точках були однакові.
Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою
де
- кінетична енергія виділеного об’єму; 
- потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою
, (25)де ρ - густина середовища виділеного об’єму.
Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо
(26)де
─ хвильове число.У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:
Рис. 4
(27)де k – коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (8) дорівнює
; 
─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд
. (28)Помножимо й поділимо (28) на Δх2, одержимо
(29)В граничному випадку при Δх=0 одержуємо
(30)Підставимо у формулу (30) значення модуля Юнга
, і швидкість деформації 
, одержимо 
(31)Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)
(32)Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює
, то одержимо середнє значення повної енергії буде дорівнювати 
(33)де ΔV=SΔx─ елементарних об’єм пружного середовища.
Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища
. (34)Нехай через площадку S(рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δtпереноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати
, (35)де
─ вектор густини потоку енергії; 
─ середня густина перенесеної хвилями енергії; 
─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно переносу енергії.5. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.