Расчет линейных электрических цепей переменного тока (стр. 3 из 3)

I_B = U_B^/*Y_B = (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72

I_C=U_C^/*Y_C= (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96

I_N= U_N*Y_N = (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

I_A + I_B + I_C =I_N

3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52 @ - 6,8 + j2,09;

- 6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S_A = I_A² * Z₁ = 4,1²*(-j65) = -j1092=1092

B*A.

S_B = I_B² * Z₂ = 7,72²*(14+j56) = 834+j3338 =3440

B*A

S_C = I_C² * Z₃ = 2,96²*(56-j23) = 491 – j 202 = 530

B*A.

S= S_A + S_B + S_C = -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =

= 2436

B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и напряжений M_U = 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8.

5 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Схема заданной цепи изображена на рисунке 9

Рисунок 9.

В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными

напряжениями нагрузки:

U_AB = U_Л = 380 В.

U_BC = 380

= -190-j329 B.

U_CA = 380

= -190+j329 B.

Определяем систему фазных токов нагрузки:

I_AB =

= j5,85 = 5,85

I_BC =

= -6,32+j1,81 = 6,58

I_CA =

= -4,96+j3,83 = 6,27

Систему линейных токов определяем из соотношений:

I_A = I_AB – I_CA = j5,85+4,96-j3,83 = 4,96+j2,02 = 5,36

I_B = I_BC – I_AB = -6,32+j1,81-j5,85 = -6,32-j4,04 = 7,5

I_C = I_CA – I_BC = -4,96+j3,83+6,32-j1,81 = 1,36+j1,92 =2,35

Определяем мощности фаз приемника:

S_AB=I_AB²*Z₁= 5,85²*(-j65) = -j2224 = 2224

B*A.

S_BC = I_BC²*Z₂ = 6,58²*(14+j56) = 606+j2425 = 2499

B*A.

S_CA = I_CA²*Z₃ = 6,27²*(56 – j23) =2201– j904 = 2380*

B*A.

Определяем мощность трехфазной нагрузки:

S_AB+S_BC +S_CA = -j2224+606+j2425+2201– j904 =2807 – j703 =

= 2894

B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I =1 A/см и напряжений M_U = 50A/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 10.

6 Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику несинусоидального напряжения, под действием которого в цепи возникает ток с мгновенным значением

i=7Sin(wt+13⁰)+1,2Sin(2wt-86⁰)+0,4Sin3wt A,который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u₁, u₂и u₃c разными частотами (рисунок 11)

Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники:

X_C₁₁ = 18 Ом, R₂ = 23 Ом, X_L₂₁ = 14 Ом, R₃ = 12 Ом, X_C₃₁ = 62 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

Рисунок 11.

Первая гармоника

Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R = R₂ + R₃ = 14+56 = 70 Ом. X₁ = -X_C11+ X_L21- X_C31 = - 65+56–23 =

= -32 Ом.

Полное сопротивление цепи:

Z₁ =

= 76,7 Ом.

Амплитудные значения напряжения и тока:

I_m₁ = 7 A, U_m₁= I_m₁*Z₁= 7*76.7 =537 B.

Действующие значения напряжения и тока:

U₁ = U_m₁ /

= 537 / 1,41 = 381 B.

I₁ = I_m₁ /

= 7 / 1,41 = 4.96 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:

Sinφ₁ = X₁/Z₁ = -32/76.7 = - 0.4172. j₁= - 24.66°, Cosφ₁=0.9088.

Активная и реактивная мощности первой гармоники:

P₁ = I₁² * R = 4.96² * 70 =1722 Вт.

Начальная фаза тока определяется из соотношения:

φ₁ = y_U1 – y_I1, отсюдаy_U1 =y_I1 + j₁ = 13°- 24.66°= - 11.66°

Мгновенное значение напряжения первой гармоники

u₁= U_m₁ * Sin (ωt + y_U₁) = 537 * Sin (ωt – 11.66°) B.

Вторая гармоника.

Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.

X₂= X_C₁₁/ 2 + X_L_21* 2 - X_C₃₁ / 2 = -65/ 2 + 56* 2 - 23 / 2 = 68 Ом.

Z₂=

=97.6 Ом,

I_m2=1.2 A, U_m2= I_m2*Z₂=1.2*97.6 =117 B.

U₂= U_m2/

=117 / 1,41 = 83 B.I₂= I_m2/

= 1.2 / 1,41 = 0.85 A.

Sin φ₂= X₂/ Z₂= 68/97.6= 0,6967.j₂= 44.16°, Cos φ₂ = 0,7173.

P₂ = I₂² * R₂ = 0.85² *70 = 51 Вт.

y_U2 =y_I2 + j₂ = -86°+ 44.16°= - 41.9°

u₂= U_m2 * Sin (2ωt + y_U2) = 117 * Sin (2ωt – 41.9°) B.

Третья гармоника

X₃= X_C₁₁ /3 + X_L₁₁* 3 – X_C₃₁ / 3 = - 65 / 3 + 56* 3 - 23 / 3 =139 Ом.

Z₃ =

= 156 Ом. I_m3 =0.4 A, U_m3 = I_m3 *Z₃ =0.4 *156 =

= 62.4 B.

U₃= U_m3/

=62.4/

= 44.3 B. I₃ = I_m3/

= 0.4 / 1,41 = 0.28 A.

Sin φ₃ = X₃ / Z₃ =139 /156 = 0,891. j₃ = 63°. Cos φ₃ = 0,454.

P₃ = I₃² * R = 0.28² *70 = 0.5 Вт.

y_U3 =y_I3 + j₃ = 63°.

u₃= U_m3 * Sin (3ωt + y_U3) =44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Определяем действующие значения тока и напряжения:

I =

= 5.04 A.

U =

= 559 B.

Активная и реактивная мощности цепи:

P = P₁+P₂+P₃=1722+51+0.5=1774 Вт.

Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:

Cos Х = Р / (U * I) = 1774/ (559 *5.04) = 0,6296.

Уравнение мгновенных значений напряжения между зажимами цепи:

u=u₁+u₂+u₃=537 * Sin (ωt – 11.66°)+117 * Sin (2ωt – 41.9°)+

+44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Литература

1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М. “Высшая школа “,1981 г.

2. В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М. “Энергия”,

1978 г.

3. Ю.В. Буртаев, П. И. Овсянников. Теоретические основы электротехники.– М. “Энергоатомиздат”, 1984 г.

4. Л.А. Частоедов. Электротехника. - М. “Высшая школа”, 1984 г.

5. М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М. “Энергоатомиздат” , 1988 г.