Расчет симметричных автоколебаний нелинейной САР (стр. 2 из 3)

Wнэ(А) = q(A) (4)

Поделим обе части уравнения (2) на

:

, (2¢)

Подставим выражения W_ЛЧ(jw) и W_НЭ(A) в формулу (2¢):

Домножив на знаменатель, получим:

(5)

Графическое решение уравнения (2) соответствует точкам пересечения кривых W_ЛЧ(jw) и Z_НЭ(A) = -1/ W_НЭ(A), по которым из кривой W_ЛЧ(jw) можно определить частоты w_i возможных периодических режимов, а их амплитуды A_i определяют из кривой Z_НЭ(A).

Заметим, что при этом могут получаться как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.

Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых W_ЛЧ(jw) и Z_НЭ(A) осуществляется по взаимному расположению этих кривых. Рассматривая Z_НЭ(A) как параметр D-разбиения из уравнения (2), можно установить, что границей D-разбиения при этом является кривая W_ЛЧ(jw). Нанеся на эту границу штриховку по известному правилу (слева по ходу при возрастании w), выделяя тем самым область устойчивости (с заштрихованной стороны характеристики ЛЧ системы).

Периодический режим устойчив, если двигаясь по характеристике НЭ в сторону возрастания амплитуды А, переходим из неустойчивой области в устойчивую область D-разбиения, и наоборот.

Заметим, что если кривые W_ЛЧ(jw) и Z_НЭ(A) вообще не пересекаются, то решение уравнения (2) не существует, и автоколебания в заданной нелинейной системе невозможны. Если же указанные кривые имеют точку касания, то автоколебания в этой точке находятся на гране своего возникновения и исчезновения.

Учитывая то, что наименьшего значения функции Z2_НЭ и Z1_НЭ достигают при значении Re(Zn(A))=-0.05, определим τ_гр, исходя из того, что Re(W_ЛЧ(jw)) должно быть также равно -0.05 (W_ЛЧ (jω) и Z_НЭ (А) должны пересекаться на вещественной оси).

Граничным называется минимальное значение

звена запаздывания САУ, при котором автоколебания находятся на границе своего возникновения и исчезновения. При граничном значении τ характеристики ЛЧ и НЭ системы автоматического управления имеют одну общую точку соприкосновения или касания. (кривые W_ЛЧ (jω) и Z_НЭ (А)имеют общую касательную).

τ_гр=0.00115

Расчёт и построение кривых W_ЛЧ(jw) и Z_НЭ(A) осуществляем с помощью ЭВМ. Построим с помощью ППП Mathcad 2001 кривые W_ЛЧ (jω) и Z_НЭ (А)при различных значениях варьируемого параметра τ.

При τ< τ_гр графики Wлч(jw) и Zнэ(A) пересекаться не будут. Решение уравнения (2) не существует, и автоколебания в нелинейной системе невозможны.

При τ= τ_гр=0.00115 Wлч(jw) и Zнэ(A) касаются друг друга в точке с координатой -0.05 на вещественной оси, колебания находятся на грани своего возникновения и исчезновения.

При τ=0.008

При τ=0.03

При τ=0.08

При τ=0.135

При τ=0.3

При 0.444>τ>τ_гр рассматриваемые функции Wлч(jw) и Zнэ(A) имеют одну точку пересечения.

Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых W_ЛЧ(jw) и Z_НЭ(A) осуществили по взаимному расположению этих кривых. Периодический режим устойчив, если двигаясь по характеристике НЭ в сторону возрастания амплитуды А, переходим из неустойчивой области в устойчивую область D-разбиения, и наоборот. Проанализировав приведенные выше графики делаем вывод, что при А≥b и 0.444>τ>τ_гр периодический режим устойчив, а при a≤А≤b неустойчив.

Из полученных графиков найдем значения амплитуды А и частоты ω при различных значения параметра τ.

Ниже представлен расчет при А≥b и τ = 0.00115:

Теперь представим расчеты при a ≤А≤b и τ = 0.3

Остальные значения, приведенные в таблицах 2 и 3, получены по аналогии:

Таблица 2. Таблица 3.

τ	ω	А≥b
0.00025	-//-	-//-
0.00115	13.904	1.166
0.008	12.696	1.653
0.03	10.182	2.637
0.08	7.333	4.569
0.135	5.722	6.47
0.3	3.525	11.768

τ	ω	a ≤А≤b
0.00025	-//-	-//-
0.00115	13.904	1.11
0.008	12.696	0.83
0.03	10.182	0.579
0.08	7.333	0.451
0.135	5.722	0.408
0.3	3.525	0.364

2.1. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений.

Характеристика НЭ, входящего в заданную нелинейную систему, однозначна (q(A)), поэтому основное уравнение (1) метода гармонической линеаризации распадается на два уравнения:

,

; (6)

Найдем решение системы уравнений (6) при условии, что А≥b с помощью пакета прикладных программ MathCAD 2001.

Теперь найдем решение системы уравнений (6) при условии, что a ≤А≤b

Сведем полученные данные в таблицу 4.

Таблица 4.

τ	ω	А≥b	a ≤А≤b
0.00025	-//-	-//-	-//-
0.00115	13.904	1.165	1.12
0.008	12.696	1.64	0.836
0.03	10.182	2.634	0.579
0.08	7.333	4.56	0.451
0.135	5.722	6.485	0.407
0.3	3.525	11.77	0.364