Расчёты на устойчивость (стр. 3 из 3)
Рис.6. В этом случае значение коэффициента
приведения длины неизвестно и нет возмож-F ности непосредственно использовать для вы-
числения критической силы формулу (1). При-меним энергетический способ. Для аппрок-
l симации изогнутой оси стержня используем 
выражение (6). Граничные условия будутвыглядеть:
1) при z = 0: v = 0;
2)
при z = 0: v¢ = 0 (в заделке угол поворотаz 2l равен нулю);
3) при z = l: v = 0;
4) при z = 3l: M = 0 Þv¢¢ = 0 ( на верхнемконце стержня изгибающий момент равен
Рис.6 нулю);
Выражения для производных см. стр.8. Воспользуемся граничными условиями:
1) Þ Е = 0; 2) Þ D = 0; 3) Þ 4l2×A +2l×B + C = 0; 4) Þ 54l2×A + 9l×B +
+ C = 0, решая относительно А систему из двух последних уравнений: 9l×B + C = - 54l2×A,
2l×B + C = - 4l×A ,
получим: B = (- 50/7)×Al; C = (72/7)×Al.
Первая и вторая производные от прогиба запишутся:
v¢ = 2A[2z3 – (75/7)lz2 + (72/7)l2z], v¢¢ = 12A[z2 – (25/7)lz + (12/7)l2].
Подставив в (4), вычислим критическую силу
3l
144A2EIxò [z2 – (25/7)zl + (12/7)l2]2dz
0
Fcr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾» 1,09EIx / l2 .
3l
4A2ò [2z3 – (75/7)z2l + (72/7)zl2]2dz
0
Пример 5. Для сжатой стойки, показанной на Рис.7, используя энер-
гетический способ определить коэффи-
z циент приведения длины m . Подобрать 
размеры поперечного сечения стойки. Си- 
ла F =200кН. Материал Ст.3: sadm=160 МПа. 
DFd/D= a = 0,8; l = 3м. Использовать методи- 
ку расчёта по коэффициенту снижения до- 
dl пускаемых напряжений. 
0,6lРешениеz Запишем граничные условия:
1) при z =0: v = 0;
2)
при z = 0: v¢¢ = 0;3) при z = l : v = 0;
4) . при z = l : v¢¢ = 0
Рис.7 Подставим это в аппроксимирующий полином (6) и во вторую производную от него. В результате получим те же самые выражения для v¢и v¢¢, что и в примере 3. Различие будет состоять лишь в том, что в выражении для критической силы интеграл, стоящий в знаменателе придётся брать в пределах от 0 до 0,6l. Это легко понять, если вспомнить, что знаменатель в формуле (4) представляет собой удвоенное перемещение точки приложения силы, а оно зависит от укорочения части стержня, лежащей ниже сечения, в котором приложена сила.
l
144A2EIxò (z2 – lz)2dz
0
Fcr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾» 19,53EIx / l2 .
0,6l
A2ò (4z3 – 6lz2 + l3)2dz
0
Найдём коэффициент приведения длины. Для этого представим выражение для критической силы:
Fcr = 19,53EIx / l2 = p2EIx / (p2/ 19,53)×l2.
Сопоставляя полученный результат с формулой Эйлера (1), получим:
m2 = p2 / 19,53 Þm» 0,711.
Приведенная длина стержня ml = 0,711×300 » 213см.
Подберём размеры поперечного сечения. Определим геометрические характеристики. Площадь сечения:
A = pD2(1 -a2)/4 » 0,785D2(1 – 0,82) » 0,283D2.
Момент инерции:
Ix= pD4 (1 -a4) / 64.
Радиус инерции:
_____ ______ _______
ix = ÖIx/ A = 0,25 DÖ 1 + a2 = 0,25DÖ 1 + 0,82» 0,32D.
Для подбора размеров сечения используем следующий сходящийся алгоритм: зададимся некоторым средним значением коффициента j :
j1 = 0,5, тогда площадь А = F / j1sadm = 200kH/ (0,5×16kH/ см2 =25см2;
_______ _______
диаметр сечения равен D = ÖA/0,283 = Ö 25/0,283 = 9,4см;
радиус инерции ix = 0,32D = 0,32×9,4 = 3,01см;
гибкость l = ml / ix = 213/3,01 = 70,8;
коэффициент приведенной длины, соответствующий этой гибкости
j¢1 = 0,81 – (0,06/10)×0,8 = 0,8052 (табл.1);
следующее значение j примем равным среднему арифметическому из двух предыдущих:
j2 = (j1 + j¢1)/2 = (0,5 + 0,8052)/2» 0,653 и повторим расчёт:
__________
А = 200/(0,653×16) = 19,14см2; D = Ö 19,14/0,283 = 8,22см; ix = 0,32×8,22
= 2,63см; l = 213/2,63 = 81; j¢2 = 0.75 - (0,06/10)×1 = 0,744;
j3 = (0,653 + 0,744)/2 = 0,7; А = 200/(0,7×16) = 17,86см2;
__________
D = Ö 17,86/0,283 = 7,94см; ix = 0,32×7,94 = 2,54см; l = 213/2,54 = 83,9
j¢3 = 0,75 – (0,06/10)×3,9 = 0,727; разница между двумя соседними значениями составляет:
100×(0,727 – 0,7)/ 0.7 = 3,9% < 5%.
Расчёт можно считать законченным. Требуемый размер D = 7,94см, но из конструктивных соображений примем D= 80мм.
Список литературы
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. – 1986.- 512с.
2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. – 1979. – 744с.