Резистивные электрические цепи и методы их расчета (стр. 2 из 3)

Рис. 1. 4.

Зададим (произвольно) направления отсчета токов в каждом элементе. Направления отсчета напряжений на зажимах каждого элемента выберем так, чтобы для всех элементов получить согласную систему отсчетов.

Для схемы, приведенной на рисунке 1.4, по первому закону Кирхгофа, можно составить соответственно для узлов 1, 2 и 3 следующие три независимые уравнения:

По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых уравнения, так как:

Выберем контуры так, как показано на рисунке 1.4. По второму закону Кирхгофа:

Учитывая, что напряжение на любом резисторе

и перенеся известную величину в правую часть, получим:

.

В результате получено шесть линейно независимых уравнений относительно такого же количества неизвестных токов. Таким образом, система разрешима, и можно найти все токи и по ним вычислить напряжения на резисторах.

Если в цепи имеется источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а не ток через источник, поскольку он известен и равен задающему току источника. Общее число неизвестных при этом сохраняется тем же.

Число уравнений, которое необходимо составлять для расчета цепи рассматриваемым методом, равно числу элементов цепи. Поэтому метод токов ветвей используется редко. Можно существенно уменьшить число необходимых уравнений, если применить другие методы анализа цепи.

Метод узловых напряжений (МУН)

В методе узловых напряжений неизвестными, подлежащими определению, являются так называемые узловые напряжения, т. е. напряжения, которые представляют собой разности потенциалов данного узла и узла, принятого за базисный.

Обоснование метода произведем на примере цепи, содержащей только резисторы и источники тока (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

В качестве базисного выберем узел 0. Такой выбор обусловлен тем, что к узлу 0 подключено наибольшее количество элементов. Введем узловые напряжения

Количество узловых напряжений на единицу меньше числа узлов цепи.

Чтобы выяснить правила составления уравнений для узловых напряжений, введем в рассмотрение согласную систему отсчета направлений токов и напряжений.

По первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3:

Токи резистивных ветвей, подключенных к базисному узлу, выразим через узловые напряжения и проводимости ветвей:

; ;

Токи остальных ветвей (элементов) выразим через межузловые напряжения и проводимости элементов.

; ;

Каждое из межузловых напряжений можно определить через соответствующие узловые напряжения, так как

; и т. д. Эти же соотношения получаются и на основании второго закона Кирхгофа. Так, из следует . Тогда:

;

Подставим теперь значения токов в исходную систему уравнений 1, 2, 3. После приведения подобных членов и переноса известных величин в правую часть получим систему уравнений для искомых узловых напряжений или систему узловых уравнений цепи:

Эта система из трех уравнений разрешима относительно трех искомых узловых напряжений. Когда узловые напряжения будут найдены, по ним вычисляются токи в ветвях и межузловые напряжения с помощью соотношений, приведенных выше.

Таким образом, в методе узловых напряжений задача расчета цепи решается путем составления

уравнений, тогда как в методе токов ветвей число уравнений равно числу элементов цепи.

Произведем анализ уравнений 1-3 и выясним правила, по которым узловые уравнения можно записывать сразу, без промежуточных выкладок.

Назовем сумму проводимостей ветвей, подключенных к узлу, собственной проводимостью узла. Например, для первого узла собственная проводимость

Проводимость ветви, включенной между двумя узлами, назовем проводимостью связи или взаимной проводимостью узлов. Например, для узлов 1 и 2 взаимная проводимость

.

Любое из уравнений 1-3 отвечает следующим правилам.

1. В левую часть уравнения k-го узла со знаком "плюс" входит произведение k-го узлового напряжения на собственную проводимость k-го узла; все остальные слагаемые имеют знак "минус" и являются произведениями напряжения соответствующего узла на взаимную проводимость между данными и k-м узлом.

2. В правую часть уравнения k-го узла входит алгебраическая сумма задающих токов источников, подключенных к этому узлу, причем со знаком "плюс" берутся токи, ориентированные к узлу.

Составленная по этим правилам система узловых уравнений называется "канонической", если неизвестные расположены в порядке нарастания индексов, а уравнения в соответствии с номерами узлов. Для цепи, имеющей

узлов, система имеет уравнений:

Часть взаимных проводимостей цепи может быть равна нулю, если узлы не связаны между собой прямой ветвью, а имеют связь лишь через другие ветви.

Обратим внимание, что для резистивной цепи взаимные проводимости

и равны и поэтому определитель системы уравнений симметричен относительно главной диагонали.

Метод узловых напряжений можно применять и для цепей, имеющих источники напряжения. В простейшем случае цепи с одним источником напряжения в качестве базисного узла принимается тот узел, к которому одним из своих зажимов подключен источник. Тогда узловое напряжение узла, к которому подключен второй зажим источника, оказывается известным: оно будет равно напряжению источника или отличаться от него знаком. Следовательно, при наличии источника напряжения число неизвестных и число необходимых уравнений сокращается.

Пример. Составить систему узловых напряжений для цепи, схема которой изображена на рис. 1.6.

Рис. 1.6.

В качестве базисного выбираем узел 0, к которому подключен источник напряжения (можно базисным считать узел 3). Вводим узловые напряжения

, как показано на схеме. По правилам, сформулированным выше составляем уравнения для первого и второго узла. Уравнение для третьего узла составлять не требуется, так как его узловое напряжение известно: .

Система имеет вид:

Подставляя известное значение для

и перенеся известные величины в правую часть, окончательно получим:

При наличии в электрической цепи нескольких источников напряжения необходимо выбрать базисный узел так, чтобы все источники напряжения одним зажимом были подключены к нему. При этом число узловых уравнений сокращается на число источников напряжения, т. е.:

Если такой базисный узел отсутствует, то задача разрешима при определенных преобразованиях. При наличии в электрической цепи ветви с источником напряжения и последовательно включенной проводимостью, наиболее удобно произвести замену эквивалентным источником тока. При этом проводимость рассматривается как внутреннее сопротивление источника напряжения.