Решение обратной задачи динамики (стр. 4 из 5)

Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени

и от множества параметров

Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде

(2.5)

Интегрируя уравнение

раз с учетом начальных условий, получим

(2.6)

Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством

равенство (2.6) можно переписать в виде

(2.7)

Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы

получим

(2.8)

где

Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования

(2.9)

где

Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция

в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества

искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем

, изменив порядок суммирования

Введем следующие обозначения:

Тогда полином

можно записать следующим образом

где

- вектор-столбец начальных условий;

- вектор-столбец полиномов

Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису

Имеем

, (2.10)

где

- спектральная характеристика выходного сигнала

, элементы которой определяются из соотношения

(2.11)

где

- квадратная матрица размерностью

, элементы которой определяются из выражения

Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что

, где

- единичная, в силу ортонормированности базисных функций, получим

(2.12)

где

- матрица спектральной характеристики инерционной части системы размерностью

Сделаем аналогичные преобразования для правой части уравнения (2.9).

, (2.13)

где

- спектральная характеристика сигнала на входе системы, элементы которой определяются из соотношения

(2.14)

где

- квадратная матрица размерностью

спектральной характеристики форсирующей части системы, элементы которой определяются из выражения

(2.15)

где

- матрица размерностью

элементы которой определяются из соотношения

Подставляя разложения (2.13), (2.14) и (2.15) в (2.9) и делая соответствующие преобразования, получим

(2.16)

Таким образом, уравнение (2.9) с учетом (2.12) и (2.16) можно переписать в следующем виде

(2.17)

Рассмотрим теперь функционал (2.4). Имеем

Так как

, то последние выражение можно записать в следующем виде

(2.18)

или

где

. (2.19)

Здесь спектральная характеристика эталонного сигнала

или задана или, в случае задании эталонного сигнала

, определяется из выражения

Таким образом, задача определения входного сигнала

(точнее множества

) и множества

неизвестных параметров настройки системы управления (2.2), (2.3) сводиться к задаче безусловной минимизации функционала (2.18) по элементам множеств

, т.е.

Практическая часть

Результаты расчётов:

1. Интервал исследования

tmin = 0.000000e+000, c;

tmax = 7.000000e+000, c;

Nt = 512;

2. Формирование системы функций Уолша

Оператор интегрирования Ai

Columns 1 through 6

3.5000 1.7500 0 0.8750 0 0

-1.7500 0 0.8750 0 0 0

0 -0.8750 0 0 0 0.4375

-0.8750 0 0 0 0.4375 0

0 0 0 -0.4375 0 0

0 0 -0.4375 0 0 0

0 -0.4375 0 0 0 0

-0.4375 0 0 0 0 0

Columns 7 through 8

0 0.4375

0.4375 0

0 0

Оператор дифференцирования Ad

0 0 0 0 0 0 0 0

3. Операторы левой линейной части

Оператор Aw1

Columns 1 through 6

0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0046 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

Columns 7 through 8

-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0046 0.0000

-0.0000 0.0046

Оператор Aw2

Columns 1 through 6

0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0073 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073