Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени
Интегрируя уравнение
Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством
равенство (2.6) можно переписать в виде
Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы
получим
где
Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования
где
Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция
Введем следующие обозначения:
Тогда полином
где
Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису
Имеем
где
где
Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что
где
Сделаем аналогичные преобразования для правой части уравнения (2.9).
где
где
где
Подставляя разложения (2.13), (2.14) и (2.15) в (2.9) и делая соответствующие преобразования, получим
Таким образом, уравнение (2.9) с учетом (2.12) и (2.16) можно переписать в следующем виде
Рассмотрим теперь функционал (2.4). Имеем
Так как
или
где
Здесь спектральная характеристика эталонного сигнала
Таким образом, задача определения входного сигнала
Практическая часть
Результаты расчётов:
1. Интервал исследования
tmin = 0.000000e+000, c;
tmax = 7.000000e+000, c;
Nt = 512;
2. Формирование системы функций Уолша
Оператор интегрирования Ai
Columns 1 through 6
3.5000 1.7500 0 0.8750 0 0
-1.7500 0 0.8750 0 0 0
0 -0.8750 0 0 0 0.4375
-0.8750 0 0 0 0.4375 0
0 0 0 -0.4375 0 0
0 0 -0.4375 0 0 0
0 -0.4375 0 0 0 0
-0.4375 0 0 0 0 0
Columns 7 through 8
0 0.4375
0.4375 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
Оператор дифференцирования Ad
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
3. Операторы левой линейной части
Оператор Aw1
Columns 1 through 6
0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 0.0046 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000
-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046
-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
Columns 7 through 8
-0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0046 0.0000
-0.0000 0.0046
Оператор Aw2
Columns 1 through 6
0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 0.0073 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000
-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073