Решение обратных задач динамики (стр. 3 из 5)
(2.2)Задан эталонный сигнал
на интервале 
или его спектральная характеристика, который необходимо получить на выходе системы (2.2). В общем случае могут быть заданы ненулевые начальные условия: 
(2.3)Для заданных дифференциального уравнения (2.2), эталонного выходного сигнала
и начальных условий (2.3) необходимо определить входной сигнал 
и искомые сигнала на выходе получили бы сигнал, максимально параметры настройки 
такими, что при подачи на вход системы автоматического управления найденного входного в известном смысле приближенный к эталонному.В качестве меры близости реального сигнала на выходе системы (2.2), (2.3) к эталонному сигналу
на интервале примем следующий функционал 
(2.4)Неизвестный входной сигнал будем искать в форме его спектрального разложения в ряд по некоторому базису ортонормированных функций
; 
где коэффициенты
, неизвестны и их необходимо определить.Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени
и от множества параметров 
Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде 
(2.5)Интегрируя уравнение
раз с учетом начальных условий, получим
(2.6)Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством
равенство (2.6) можно переписать в виде
(2.7)Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы
получим
(2.8)где
Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования
: 
(2.9)где
Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция
в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества 
искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования 
Введем следующие обозначения:
Тогда полином
можно записать следующим образом 
где
- вектор-столбец начальных условий; 
- вектор-столбец полиномов 
.Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису
.Имеем
, (2.10)где
- спектральная характеристика выходного сигнала 
, элементы которой определяются из соотношения 
(2.11)где
- квадратная матрица размерностью 
, элементы которой определяются из выражения 
Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что
, где 
- единичная, в силу ортонормированности базисных функций, получим 
(2.12)где
- матрица спектральной характеристики инерционной части системы размерностью .Сделаем аналогичные преобразования для правой части уравнения (2.9).
, (2.13)где
- спектральная характеристика сигнала на входе системы, элементы которой определяются из соотношения 
(2.14)где
- квадратная матрица размерностью 
спектральной характеристики форсирующей части системы, элементы которой определяются из выражения 
(2.15)где
- матрица размерностью 
элементы которой определяются из соотношения 
Подставляя разложения (2.13), (2.14) и (2.15) в (2.9) и делая соответствующие преобразования, получим
(2.16)Таким образом, уравнение (2.9) с учетом (2.12) и (2.16) можно переписать в следующем виде
(2.17)Рассмотрим теперь функционал (2.4). Имеем
Так как
, то последние выражение можно записать в следующем виде 
(2.18)или
где
. (2.19)Здесь спектральная характеристика эталонного сигнала
или задана или, в случае задании эталонного сигнала 
, определяется из выражения 
, 
.Таким образом, задача определения входного сигнала
(точнее множества 
) и множества 
неизвестных параметров настройки системы управления (2.2), (2.3) сводиться к задаче безусловной минимизации функционала (2.18) по элементам множеств и , т.е.