Решение обратных задач динамики (стр. 4 из 5)
.На рисунке 2.1 представлена структурная схема алгоритма решения поставленной задачи.
Рис 2.1 Структурная схема алгоритма решения обратной задачи динамики спектральным методом
4. Практическая часть
Рассмотрим отдельный блок системы самонаведения, структурная схема которого представлена на рисунке 1.
Рис. 1. Структурная схема системы
Задан эталонный закон изменения угла
, график которого представлен на рисунке 2. 
Рис. 2. График эталонного закона изменения угла
Задача формулируется следующим образом. Необходимо найти управление
такое, которое обеспечит на выходе сигнал , максимально близкий к заданному эталонному закону.5. Практическая часть
Данная задача относится к разряду неккоректных и мы будем решать её с применением оптимизационных методов.
Для решения данной задачи воспользуемся методом матричных операторов. В этом случае структурную схему можно представить в следующем виде (рис. 3).
Рис. 3. Структурная схема системы в операторной форме
В качестве ортонормированной системы использовалась система функций Уолша с удержанием
элементов. В этом случае матричные операторы основных элементов системы будут следующими (представлены подматрицы размерностью 
): 
;
; 
; 
.Спектральная характеристика сигнала
следующая (представлены первые пять элементов): 
.Решение поставленной задачи будем выполнять в следующие два этапа.
1. Поскольку известен эталонный выходной сигнал, то из уравнения
(1)можно найти спектральную характеристику эталонного сигнала на выходе нелинейного элемента. Решая уравнение (1) относительно коэффициентов
с использованием метода Гаусса-Ньютона получены следующие числовые значения коэффициентов: 
. (2)График соответствующего сигнала представлен на рисунке 4.
Рис. 4. График сигнала, который необходимо получить на выходе нелинейного элемента
Однако на выходе нелинейного элемента можно получить сигнал, представленный на рисунке 5 (ниже показаны первые пять элементов спектральной характеристики).
Рис. 5. Реальный сигнал на выходе нелинейного элемента
.Тогда из (1) находим эталонный сигнал на выходе, который может обеспечить данная система (рис. 6). Его спектральная характеристика:
. (3) 
Рис. 6. Графики требуемого эталонного сигнала и эталонного сигнала, который можно получить
2. В результате решения предыдущего этапа найдены спектральные характеристики (3) эталонного выходного сигнала, который может обеспечить данная система, и (2) эталонного сигнала, которой необходимо получить на входе нелинейного элемента.
Далее искомый сигнал
представим в виде 
, (4)где
некоторая система линейно независимых функций.В результате можно для спектральной характеристики сигнала на входе нелинейного элемента записать следующую зависимость.
, (5)где
– спектральная характеристика 
-го элемента системы . Поскольку известны спектральные характеристики эталонных сигналов 
и 
, то между левой и правой частями выражения (5) будет иметь место невязка 
, (6)зависящая от неизвестных коэффициентов
, 
. Сформировав функционал 
, (7)исходную задачу синтеза входного сигнала можно свести к задаче поиска минимума функционала (7) на множестве допустимых значений коэффициентов
, , т.е. 
.При решении задачи в качестве системы функций
использовались экспоненциальные функции: 
. Минимум функционала (7) искался с использование алгоритма Нелдера-Мида (алгоритма безусловной минимизации). В качестве начальных значений искомых коэффициентов были приняты нулевые. При этом значение функционала (7): 
.Были получены следующие оптимальные значения искомых коэффициентов:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.Значение функционала (7) в оптимальной точке:
.Следовательно, входной сигнал имеет следующий вид:
.На рисунке 7 представлен график сигнала
. 
Рис. 7. График синтезируемого входного сигнала
На рисунке 8 представлены результаты анализа системы с использованием метода Рунге-Кутта для найденного входного сигнала и для сравнения приведены графики требуемого эталонного выходного сигнала и эталонного сигнала, который может обеспечить данная система.