Спектри і спектральний аналіз (стр. 1 из 2)

Спектри і спектральний аналіз

1. Спектри: визначення і класифікація

Відповідно формули ряду Фур'є маємо:

(1)

Тут

– основна частота. Як бачимо, складна періодична функція цілком визначається сукупністю величин і . Сукупність величин зветься спектром амплітуд. Сукупність величин називається відповідно спектром фаз. Для багатьох застосувань досить знати спектр амплітуд; він застосовується настільки часто, що коли говорять про спектр, то мається на увазі саме амплітудний спектр. В інших випадках роблять відповідні застереження. Ми робитимемо так само.

Спектр періодичної функції можна зобразити графічно. Виберемо для цього координати

і .

Спектр буде зображений у цій системі координат сукупністю дискретних точок, оскільки кожному значенню

відповідає одне визначене . Графік, що складається з окремих точок, незручний. Тому прийнято зображати амплітуди окремих гармонік вертикальними відрізками відповідної довжини.

У результаті спектр періодичної функції приймає вигляд, показаний на рис. 1. Це – дискретний спектр; його називають також лінійчастим, запозичивши цей термін з оптики.

Друга властивість спектра, зображеного на рис.1, полягає в тому, що спектр – гармонійний. Це означає, що він складається з рівновіддалених спектральних ліній; частоти гармонік знаходяться в простих кратних співвідношеннях. Зазвичай окремі гармоніки, іноді навіть перша, можуть бути відсутніми, тобто амплітуди їх можуть дорівнювати нулю; це, однак, не порушує гармонійності спектра.

Не слід вважати, що тільки періодична функція має дискретний спектр. Припустимо, наприклад, що складне коливання є результатом додавання двох синусоїдальних коливань з непорівнянними частотами, скажімо,

та . Це коливання свідомо неперіодичне, однак спектр його дискретний і складається з двох спектральних ліній.

Функція, що володіє дискретним спектром з довільно розташованими за частотою спектральними лініями, називається майже періодичною.

Отже, дискретні чи лінійчасті спектри можуть належати як до періодичних, так і до неперіодичних функцій. У першому випадку лінійчастий спектр обов'язково гармонійний.

Велике практичне значення має окремий випадок майже періодичної функції, що подається розкладанням виду

,

де

приймає як позитивні, так і негативні значення. Спектр, що відповідає цьому розкладанню, характеризується тим, що лінії його еквідистантні; тому ми називатимемо такого роду лінійчастий спектр квазігармонійним. Такі, наприклад, спектри періодичних модульованих коливань; у цьому випадку є не що інше, як несуча частота.

Звернемося тепер до спектрів неперіодичних функцій. Ми вже знаємо, що в результаті граничного переходу від ряду до інтеграла Фур'є інтервали між окремими лініями необмежено скорочуються, лінії зливаються, і замість дискретних точок спектр має зображуватися безперервною послідовністю точок, тобто безперервною кривою. Такого роду спектр називається суцільним. На рис. 2 наведений приклад спектрального розкладання ЕЕГ.

Проте тут потрібно ввести одне уточнення. Ми писали формулу для інтеграла Фур'є у вигляді

(2)

Підінтегральна функція виражає окремий нескінченно малий доданок, тобто коливання з нескінченно малою амплітудою

:

,

.

Таким чином, величина

виражає не безпосередньо амплітуду, а так звану спектральну щільність. Однак зазвичай цю деталь опускають і називають комплексним спектром неперіодичної функції, а абсолютне значення (модуль) цієї величини – просто спектром. Це може призвести до непорозумінь лише в тому випадку, коли ми безпосередньо порівнюватимемо співвідношення для періодичних і неперіодичних функцій.

Отже, ми маємо два різновиди спектрів: лінійчасті і суцільні. Гармонійні лінійчасті спектри належать періодичним функціям, суцільні – неперіодичним.

Насамкінець зазначимо, що тими чи іншими функціями можуть виражатися зміни різних фізичних величин. Наприклад, спектри механічних величин: зсуву, швидкості, прискорення, сили, тиску тощо; електричних величин: струму, напруги і т.д. Крім того, нас часто цікавлять спектри квадратичних величин: потужності й енергії.

2. Деякі теореми про спектри

Виведемо тепер декілька загальних теорем про спектри, заснованих на властивостях перетворення Фур'є. Ці теореми подібні до теорем операційного числення і виводяться аналогічно: адже перетворення Фур'є і перетворення Лапласа, що складають основу операційного числення, споріднені між собою.

Насамперед відзначимо, що перетворення Фур'є лінійне. З цього безпосередньо випливає, що до нього можна застосувати принцип накладання. Цю обставину можна виразити таким співвідношенням:

.(3)

Зміст співвідношення (3) може бути коротко виражений так: спектр суми дорівнює сумі спектрів.

Повернемося тепер до розгляду ЕЕГ. Симетричність (збіг ЕЕГ, знятих з відведень, розташованих у протилежних точках скальпа) характерна для нормальної ЕЕГ, вона є одним з істотних критеріїв діагностики. Разом з тим, ЕЕГ є випадковим процесом, тому, говорячи про збіг, розумітимемо збіг у середньому, тобто збіг характеристик процесів. Як таку характеристику виберемо спектр потужності ЕЕГ, потім знайдемо суму і різницю ЕЕГ симетричних відведень, потім визначимо спектр сумарного процесу і спектр різниці процесів. Виходячи з лінійності перетворення Фур'є, прояв симетричності буде в тому, що спектр сумарного процесу має значно перевершувати спектр різниці процесів. За відсутності симетричності спектри сумарного і спектр різниці процесів практично перекриватимуться. Зазначені припущення виявляються практично, що ілюструється рис. 3 і рис. 4.

Виведемо тепер вираз для комплексного спектра функції, що відрізняється від вихідної запізнюванням на час

. Ми можемо записати

.

Шляхом простої заміни змінної за формулою

приходимо до результату

.

Якщо в цьому співвідношенні перейти від комплексних спектрів до їх модулів, то одержимо

,

тобто при запізнюванні – чи взагалі при зсуві функції за шкалою часу спектр її залишається незмінним. Інакше кажучи, спектр не залежить від вибору початкового моменту для відліку часу.

Наступна теорема відноситься до транспозиції (переносу) спектрів. Питання ставиться в такий спосіб: якій функції відповідає спектр, зміщений за шкалою частот по

?

Оскільки

,

то, отже, комплексний спектр вихідного виду буде властивий функції

.

Слід зазначити одну цікаву обставину. Застосовуючи розкладання Фур'є, ми маємо справу з парою перетворень Фур'є.

.

У цих формулах привертає увагу те, що час

і кругова частота входять у них симетрично. Формули можуть бути зроблені цілком симетричними, якщо, змінивши визначення, рознести множник на два інтеграли (тобто ввести в обох формулах множник ), що часто і роблять.

3. Поточний спектр