Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів (стр. 3 из 4)

2) Визначаємо кутову швидкість обертання системи точкових вихорів.

3) Знаходимо в потоці рідини, що розглядається, точки, в яких наведена швидкість збоку вихорів та зовнішнього потоку дорівнює нулеві або має екстремальні значення.

4) В нерухомих точках рідини розміщуємо додатковий точковий вихор інтенсивності та поступово з певним кроком збільшуємо інтенсивність цього вихору до 1. На кожному кроці розв’язується система нелінійних рівнянь відносно невідомих.

5) При розв’язок системи дає нове положення рівномірно-обертової конфігурації системи точкового вихору.

Аналіз системи рівнянь та її розв’язків показує, що нова конфігурація вихорів визначається, в першу чергу, початковим наближенням (конфігурацією точкових вихорів) та вибором точки, в якій розміщується додатковий вихор змінної інтенсивності. Дослідження показали, що стаціонарних точок в рідині може бути декілька, однак не кожна з них може привести до нової конфігурації точкових вихорів. Слід відмітити, що при розв’язанні системи нелінійних рівнянь точковий вихор, спочатку розміщений в різні стаціонарні точки потоку рідини, може потрапляти в одні й ті самі рівномірно-обертові конфігурації систем точкових вихорів.

При чисельній реалізації методу інтенсивність вихору збільшувалась дискретно на кожному кроці розв’язання задачі. При розв’язанні системи рівнянь застосовувався метод Ньютона-Рафсона.

В результаті досліджень сформовано доповнений аналог (фрагмент при), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 8₃, 9₁ та 10_1. В роботі класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах, а також проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.

Метод знаходження рівномірно-обертових вихрових конфігурацій дозволив також знайти несиметричні вихрові структури, які виникають. Їх кількість збільшується зі збільшенням кількості вихорів (при та по одній конфігурації, при по три конфігурації, при - сім конфігурацій та при - дев’ять конфігурацій). Побудовано каталог несиметричних конфігурацій. Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Також в роботі побудовано лінії току всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.

Таблиця 1. Значення інваріантів руху симетричних конфігурацій

№	Конфігурація	H₁	I₁	P₁	Q₁	H₂	I₂	P₂	Q₂
1	3₁	-0,131598	2,999912	0	0	-0,12812	2,91456	0	0
2	4₁	-0,318666	6,0025	0	0	-0,31376	5,88125	0	0
3	5₁	-0,598126	10,0004	0	0	-0,59516	9,92763	0	0
4	5₂	-0,587235	9,99824	0	0	-0,58089	9,84139	0	0
5	6₁	-0,978449	15,0088	0	0	-0,97531	14,9318	0	0
6	6₂	-0,979375	15,0005	0	0	-0,97286	14,839	0	0
7	7₁	-1,47966	20,9971	0	0	-1,47326	20,8384	0	0
8	8₁	-2,09398	28,0026	0	0	-2,08775	27,848	0	0
9	8₂	-2,08098	27,9975	0	0	-2,07392	27,822	0	0
10	8₃	-2,08257	28,0044	0	0	-2,07392	27,7895	0	0
11	9₁	-2,82632	35,9983	0	0	-2,82035	35,8501	0	0
12	9₂	-2,8233	35,9958	0	0	-2,81691	35,8191	0	0
13	10₁	-3,6893	45,0015	0	0	-3,68155	44,8086	0	0

У п’ятому розділі побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без збурень та з малими збуреннями початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта 4 порядку.

Проведено чисельний аналіз стійкості всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів Для цього в початкове положення вихорів вносилось мале збурення, таке, що не змінювало положення центру завихрення та мінімально змінювало енергетичні параметри системи точкових вихорів. В таблиці 1 наведено значення інваріантів руху симетричних систем точкових вихорів, що представлені на рис.4; - інваріанти незбурених систем вихорів, - інваріанти збурених систем при значенні збурення початкових координат . Аналогічно в табл.2 представлено значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій вихорів (рис.5 та рис.6) при збуренні початкових координат .

Аналіз траєкторій руху показав, що симетричні конфігурації вихорів, представлені в роботі (рис.4), являються стійкими відносно малих збурень початкових

Таблиця 2. Значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій

№	Конфігурація	H₁	I₁	P₁	Q₁	H₂	I₂	P₂	Q₂
1	5₁	-0,586692	10	0	0	-0,58663	9,99845	0	0
2	6₁	-0,974332	15	0	0	-0,97426	14,9983	0	0
3	7₁	-1,4651	21	0	0	-1,46503	20,9982	0	0
4	7₂	-1,4441	21	0	0	-1,44403	20,9983	0	0
5	7₃	-1,42046	21	0	0	-1,4204	20,9985	0	0
6	8₁	-2,07041	28	0	0	-2,07034	27,9984	0	0
7	8₂	-2,05269	28	0	0	-2,05263	27,9985	0	0
8	8₃	-2,05647	28	0	0	-2,05638	27,998	0	0
9	9₁	-2,82233	36	0	0	-2,82225	35,9982	0	0
10	9₂	-2,78345	36	0	0	-2,78339	35,9987	0	0
11	9₃	-2,80028	36	0	0	-2,8002	35,9979	0	0
12	9₄	-2,78741	36	0	0	-2,78733	35,9981	0	0
13	9₅	-2,79871	36	0	0	-2,79862	35,9977	0	0
14	9₆	-2,75592	36	0	0	-2,75585	35,9982	0	0
15	9₇	-2,80823	36	0	0	-2,80816	35,9983	0	0
16	9₈	-2,78123	36	0	0	-2,78117	35,9984	0	0
17	10₁	-3,67984	45	0	0	-3,67975	44,9977	0	0
18	10₂	-3,65191	45	0	0	-3,65185	44,9985	0	0
19	10₃	-3,64413	45	0	0	-3,64407	44,9984	0	0
20	10₄	-3,65781	45	0	0	-3,65776	44,9987	0	0
21	10₅	-3,65231	45	0	0	-3,65223	44,998	0	0
22	10₆	-3,67236	45	0	0	-3,67229	44,9982	0	0
23	10₇	-3,6799	45	0	0	-3,67983	44,9983	0	0
24	10₈	-3,67847	45	0	0	-3,67842	44,9987	0	0
25	10₉	-3,68155	45	0	0	-3,68147	44,9982	0	0

При цьому встановлено, що включена в, так званий, „Лос-Аламоський каталог” конфігурація 10 вихорів (випадок 3+7) являється нестійкою. І, навпаки, аналогічна конфігурація 10 вихорів (випадок 2+8) виявляється стійкою відносно малих збурень початкових координат.

Всі несиметричні конфігурації, отримані в роботі (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат. Починаючи з другого періоду обертання, траєкторії руху незбурених систем вихорів відхиляються більше ніж на 1 порядок по відношенню до траєкторій руху вихорів без збурення початкових координат , тобто вихорі починають рухатись неперіодичним чином.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи сформульовано у такий спосіб:

1) Представлено новий чисельно – аналітичний метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нев’язкій рідині на необмеженій площині. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів, де в якості початкового наближення вибрано стаціонарну конфігурацію порядку та стаціонарну точку потоку рідини в системі координат, що обертається з постійною кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання вихрової системи порядку. Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації рівномірно-обертових систем однакових точкових вихорів.

2) Сформовано доповнений аналог (фрагмент при ), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 8₃, 9₁ та 10_1. В роботі класифіковано отримані вихрові структури та проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі. Суттєвою відмінністю від знайдених в літературі рівномірно-обертових конфігурацій вихорів являється наведення точних (до десятого порядку малості) початкових координат в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних вихрових структур.