Суперпозиція хвиль (стр. 1 из 2)
РЕФЕРАТ
на тему:”Суперпозиція хвиль”
План
1.Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість
2.Інтерференція хвиль
3.Стоячі хвилі
1. Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість
Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.
При поширенні декількох хвиль в лінійному середовищі, тобто середовищі де властивості хвиль не змінюються під дією різних збурень створюваних хвилями, кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинок середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які одержують частинки, беручи участь у кожному окремому хвильовому процесі.
Виходячи з принципу суперпозиції будь-яка хвиля може бути подана у вигляді системи синусоїдальних хвиль, тобто у вигляді хвильового пакета, або групи хвиль.
Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотою, і займають в кожен момент часу обмежену область простору.
«Виготовимо» найпростіший хвильовий пакет із двох хвиль, які поширюються уздовж осі х з однаковими амплітудами і близькими частотами і відповідно хвильовими числами. Нехай
і 
. Тоді 
(1)Хвиля (1) не є синусоїдальною, тому що її амплітуда повільно змінюється в залежності від координати х і часу t
. (2)За швидкість поширення цієї не синусоїдальної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, вважаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, коли
, одержимо 
(3)Швидкість u є груповою швидкістю. Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.
Знайдемо зв’язок між груповою й фазовою швидкостями хвиль. У формулу (3) підставимо значення циклічної частоти ω, вираженої черезхвильове число к і фазову швидкість υ, тобто
або
(4)При виведенні (4) враховано що
і 
.Аналізуючи формулу (4) можна зробити висновок, що групова швидкість може бути і меншою і більшою фазової швидкості. Все залежить від знаку похідної
.У середовищі, в якому фазова швидкість не залежить від довжини хвилі, групова швидкість збігається з фазовою швидкістю.
Поняття групової швидкості дуже важливе, тому що саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, у системах керування космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова швидкість
, у той час як для фазової швидкості обмежень не існує.2. Інтерференція хвиль
Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов'язується з поняттям когерентності.
Дві хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.
Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.
Розглянемо накладення двох плоских хвиль, які випромінюються точковими джерелами S1 і S2 (рис.1) з амплітудами А1 і А2, частотами ω1 і ω2, хвильовими числами к1і к2.
Рис. 1
Точкові джерела S1 і S2 випромінюють в напрямі точки М плоскі хвилі, рівняння яких мають вигляд
(5)де r1і r2 – відстані від джерел хвиль до точки М; к1 і к2 – хвильові числа; φ1і φ2 – початкові фази обох хвиль; ω1 і ω2 – циклічні частоти хвиль.
Результуючу амплітуду при накладанні двох однаково направлених хвиль (5) знаходимо графічним методом (з допомогою векторної діаграми)
. (6)Окремі випадки:
1. Нехай ω1≠ ω2, к1≠к2, φ1≠φ2.
В цьому випадку жодна складова правої сторони рівняння (6) не дорівнює нулю, а тому можна визначити лише середнє значення результуючої амплітуди. Оскільки середнє значення косинуса за час в один період дорівнює нулю, то
(7)Рівняння (7) показує, що в цьому випадку в точці М відбувається просте додавання інтенсивностей (I ~ A2)
2. Нехай ω1 = ω2, к1=к2, φ1= φ2, A1 = A2 = A0.
В цьому випадку рівняння (7) матиме вигляд
. (8)Вираз під функцією косинуса в рівнянні (8) не залежить від часу, а тому не підлягає усередненню. Результуюча інтенсивність при накладанні двох хвиль в цьому випадку буде дорівнювати
(9)Рівність (9) показує, що розподіл інтенсивності при накладанні двох хвиль з рівними циклічними частотами, хвильовими числами й початковими фазами в різних точках простору буде різною. Такі хвилі називаються когерентними, а явище називається інтерференцією.
Проведемо аналіз співвідношення (9).
1. Якщо кΔr =± 2nπ, де n = 1, 2, 3, … і к =
─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати 
. (10)Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число хвиль, то при їх накладанні інтенсивність зростає в 4 рази. Ця умова є умовою максимумів інтерференції, тобто
, де n = 0, 1, 2, 3, … ─ умова максимумів інтерференції.2. Якщо кΔr = ± (2n +1), де n = 1, 2, 3, … і к =
─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати 
(11)Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається непарне число півхвиль, то при їх накладанні результуюча інтенсивність буде дорівнювати нулю. Ця умова є умовою мінімумів інтерференції, тобто
Δr= ±(2n+1)
, де n=0, 1, 2, 3,… ─ умова мінімумів інтерференції.3.Стоячі хвилі
Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі. Стоячі хвилі - це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширю-ються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.
Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі х в пружному середовищі без затухання, при цьому виберемо початок відліку хтак, щоб початкова фаза φ дорівнювало нулю, тобто
(12)Додамо ці рівняння і враховувавши, що
, отримаємо рівняння стоячої хвилі 
(13)Множник
показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.Множник
, який не залежить від часу, виражає амплітуду Аст результуючих хвиль, точніше ─ амплітуда як величина позитивна, дорівнює абсолютному значенню цього множника: 
(14)Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища. Точки середовища, де амплітуда Астдосягає максимального значення 2А, називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначають із умови
(m=0, 1, 2, …). (15)Точки середовища, де Аст= 0 називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови