Теоретическая механика. Статика (стр. 2 из 3)
Матричное решение имеет вид:
.В среде Mathcad можно выполнить и проверку.
Пример СП-2. Равновесие тела в плоскости (Мещерский, 4.10)
| Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим на гладкую плоскость, наклоненную под углом 300 к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть верёвки ВС параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления NA и NB на пол и наклонную плоскость. |
Ответ: P = 25 H, NA = 50 H, NB = 43,3 H
 |
Решение.
Рассмотрим равновесие стержня АВ и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.2). На точку D, как активная сила, действует сила тяжести стержня АВ -  . |
Со стороны связей (пола и плоскости) на стержень действуют их реакции –
, 
(соответственно), и натяжение 
части веревки ВС, причем по модулю натяжение равно весу груза P (T = P).  |
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем три уравнения равновесия: 2 уравнения сил в проекциях на оси координат x и y и сумму моментов сил относительно точки B (рис. 2). (
): 
Из уравнения (3) находим
.Из уравнения (1)
.Подставляем в уравнение (2)
и находим
При заданных числовых значениях получаем NA = 50 Н, NB= 43,3 Н, Р = 25 Н.
Проверка. Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки D (рис. 1) и убедимся, что оно обращается в тождество:
Действительно, при подстановке найденных значений получаем
Ответ. Давления равны NA = 50 Н, NB = 43.3 Н, вес груза Р = 25 Н.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем в стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:
Матричная запись уравнений имеет вид:
Решаем в среде Mathcad и выполняем проверку.
Пример СП-3. Определение реакций в двухопорной балке (Мещерский, 3.16)
| На двухопорную горизонтальную балку действует пара сил (P, P), на левую консоль – равномерно распределённая нагрузка интенсивности q, а в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если P = 1 кН, Q = 2 кН, q = 2 кН/м., а = 0,8 м.. |
Ответ: Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН
Решение:
Рассмотрим равновесие стержня CАВD и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.3).
В точке А шарнирно неподвижная опора заменяется реакциями Ray и Rax . Аналогично в точке B шарнирно подвижная опора заменяется реакцией Rв.
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем 3 уравнения: два уравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно одной из отброшенных опор (рис.3)
Из уравнения (1) находим
.Из уравнения (3)
.Подставляем Rв в уравнение (2) и выражаем Rау:
Проверка. Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки D (рис. 3) и убедимся, что оно обращается в тождество:
Действительно, при подстановке найденных значений получаем
Ответ. Реакции равны Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать итерационные методы.
Решаем задачу в в среде Mathcad итерационным методом:
Пример СП-4. Равновесие системы тел в плоскости (Мещерский, 4.43)
| Подвеска состоит из двух балок АВ и СD, соединённых шарнирно в т.D и прикреплённых к потолку шарнирами А и С. Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в т.Е. Вес балки CD равен 50 Н и приложен в т.F. В точке В балки АВ приложена вертикальная сила Р = 200 Н. Определить реакции в шарнирах А и С, если заданы следующие размеры: АВ = 1 м, СD =0.8 м, АЕ = 0.4 м, СF = 0.4 м, углы наклона балок АВ и СD к горизонту соответственно равны: α = 60 0 и β = 450 . |
Ответ: -Xa = Xc = 135 Н, Ya = 150 H, Yc = 160 H.
К задаче 4.43
Решение:
| Рассмотрим равновесие кронштейна и составим расчетную схему сил, действующих на него (рис.4). Приложим вес стержня АВ – G1 в т. Е, а вес стержня CD – G2 в т. F. В точках А и С шарнирно неподвижные опоры заменяются реакциями Xa, Xc, Ya и Yc. Если рассматривать кронштейн целиком, то получается 4 неизвестных, а уравнений равновесия для плоской системы произвольных сил можно составить только 3, поэтому составляем две расчетные схемы – для каждого стержня отдельно (рис.5), при этом появляются ещё 2 неизвестные реакции в шарнире D. |
Для каждой расчетной схемы (рис.5) составляем 3 уравнения равновесия: два уравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно т. D.
В результате получим систему 6 уравнений с шестью неизвестными.
Из уравнения (2)
.Подставляем в уравнение (5) и выражаем:
Из уравнений (1) и (4) находим
.Из уравнения (6) выражаем Xa, из (3) – Xc, и приравниваем эти выражения:
Подставим Ya и преобразуем выражение:
выразим и найдём Yc:
Для нахождения AD воспользуемся теоремой синусов:
