Теория распространения волн (стр. 2 из 4)
. (4.2)Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от, например, звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, затем длинные волны уходят вперёд, а короткие остаются позади них.
рис 4.2
Из расположения линий тока видно (см. рис. 4.2 - здесь система отсчёта неподвижна относительно покоящейся воды), что скорость движения воды быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины
, следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только 
,то есть более чем в 500 раз меньше, чем скорость на поверхности.
Формула 4.2 справедлива только для низких волн, причём независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое даёт формула 4.2. Кроме того, при высоких волнах траектория частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперёд на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 4.2). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперёд.
Также формула 4.2 справедлива лишь для длинных волн. В общем случае кроме силы тяжести на волны действует также поверхностное натяжение. Они стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в общем случае скорость распространения волн равна
, (4.3) 
Справа представлен график распределения скоростей волн в зависимости от длины волны для воды. 
=0; 
- длина волны, при которой скорость волны минимальна. Это значение можно подставить в 4.3: 
.  |
Волны, длина которых больше λ1, называются гравитационными, а волны, длина которых меньше λ1, - капиллярными. На графике к  |
капиллярным волнам относится левая ветвь, к гравитационным – правая. а
Волны могут возникать и на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны ρ1 и ρ2, со фазовая скорость волн выражается формулой
.Возникновение устойчивых волн в таком случае возможно только если их длина достаточно велика. Короткие волны неустойчивы, что неизбежно приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне.
Пусть верхняя жидкость течёт со скоростью ω1 относительно нижней. Возникшие волны распространяются со скоростью, равной среднему значению первоначальных скоростей над и под поверхностью раздела. На рисунке 4.3 выбрана такая система отсчёта, которая движется с этой средней скоростью. Следовательно в этой системе отсчёта гребни и впадины волн остаются неподвижными, верхний поток движется вправо, а нижний – влево.
На линии тока выделяется частица жидкости. Для этой точечной частицы нормальное ускорение равно
, где ω – скорость течения на линии тока, r – радиус кривизны в рассматриваемой точке (может быть как положительным в месте выпуклости линии тока, так и отрицательным в месте вогнутости). Уравнение движения в проекции на направление r даёт: 
, где ∂s – элемент дуги, p – давление в рассматриваемой точке, ρ – плотность жидкости.Получается, что знак ∂p зависит только от знака радиуса кривизны, т. е. давление растёт по мере приближения к выпуклости линии тока и понижается у вогнутости. На рисунке 4.3 области повышенного давления обозначены плюсами, пониженного – минусами. Очевидно, что такое течение не может быть устойчивым. Жидкость из пиков волн устремится внутрь соседней среды, и обе жидкости перемешаются с образованием вихрей.
При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной волны, поэтому на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности могут устойчиво существовать только достаточно длинные волны.
4.2 Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.
Скорость, обозначаемая ранее буквой с и называемая скоростью распространения волны, - есть ни что иное, как фазовая скорость (т.е. скорость перемещения гребней волн). От неё следует отличать скорость распространения группы волн, называемую групповой скоростью (далее она будет иметь обозначение с*).
Понять различие между ними проще всего на примере картины, возникающей в результате наложения двух волн, имеющих разные амплитуды, но немного отличающиеся своей длиной. Пусть имеется синусоидальная волна
y = A sin (μx - νt),
где А есть амплитуда, t – время, а μ и ν – некоторые коэффициенты.
При изменении x на
или t на 
синус принимает прежнее значение (т. к. sin (φ+2π) = sin (φ) по формулам приведения. Следовательно, величина 
- это длина волны, (4.4)а величина
- период колебаний. Если (4.5)μx – νt = const, т. е. если x = const +
,то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината y. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью
. (4.6)Пусть на эту волну накладывается вторая волна
y′ = A sin (μ′x - ν′t),
т. е. волна с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями μ и ν. Результирующим движением будет
y + y′ = A[sin (μx - νt)+ sin (μ′x - ν′t)]. (4.7)
В тех точках оси x, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2A, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. После применения к 4.7 правила сложения синусов, получается выражение
y + y′ = 2A cos
sin 
.В этом равенстве член sin
представляет собой волну, для которой коэффициенты при x и t равны средним значениям от μ и μ′ и соответственно от ν и ν′.Множитель 2A cos
, в свою очередь, можно рассматривать как переменную амплитуду (при малых различиях параметров этот множитель изменяется очень медленно). 
Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки (она и называется групповой скоростью) на основании выведенного соотношения 4.6 равна
. (4.8)