Теория распространения волн (стр. 3 из 4)

Для длинных групп, т. е. для медленных биений (см. пункт 4.1 – зависимость длины волны от скорости), с достаточной точностью можно принять, что

.

Соотношения между групповой скоростью и скоростью распространения волны определяются следующим образом:

1) для гравитационных волн:

Из формулы 4.1 :

, но, согласно равенству 4.5, , следовательно .

С другой стороны, после подстановки в формулу 4.2 значения λ из 4.4, получается:

, поэтому .

Дифференцирование по μ с учётом равенства 4.8 даёт результат:

.

2) для капиллярных волн:

Из формулы 4.5 :

, но, согласно равенству 4.4, .

Дифференцирование этого выражения по μ с учётом 4.8 и выражения скорости для предельного случая очень короткой капиллярной волны

(см. формулу 4.3 и пункт 4.1) даёт результат:

.

Таким образом, группы гравитационных волн распространяются со скоростью с^*, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы всё время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.

Групповая скорость капиллярных волн больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают.

4.3 Распространение волн на неглубокой воде.

Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они ещё достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и выведенные соотношения неверны и принимают на самом деле более сложный вид. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде зависимость между длиной и скоростью распространения волн принимает опять более простой вид. В обоих этих случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому опять можно считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону.

Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево «вал» воды шириной b, повышающий уровень воды от h₁ до h₂ (рисунок 4.4). До прихода вала вода находилась в покое. Скорость её движения после повышения уровня ω. Эта скорость не совпадает со скоростью вала, она необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объёма воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды.

рис 4.4 п

Наклон вала по всей его ширине принимается постоянным и равным

. При условии, что скорость ω достаточно мала, чтобы ей можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость воды в области вала будет равна (рисунок 4.5)

Условие неразрывности 3.4, применённое к единичному слою воды (в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 4.4), имеет вид

ω₁l₁ = ω₂l₂ , (интеграл исчез из-за линейности рассматриваемых площадок),

здесь ω₁ и ω₂ – средние скорости в поперечных сечениях l₁ и l₂ потока соответственно. l₁ и l₂ – линейные величины (длины).

Это уравнение, применённое к данному случаю, приводит к соотношению

h₂ω = bV , или h₂ω = c (h₂-h₁). (4.9)

Из 4.9 видно, что связь между скоростями ω и c не зависит от ширины вала.

Уравнение 4.9 остаётся верным и для вала непрямолинейного профиля (при условии малости угла α). Это легко показать, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала:

, откуда при условии, что разностью h₂ - h₁ можно пренебречь и вместо h_2i в каждом случае подставить h₂, получается . Это условие справедливо при уже принятом допущении о малости скорости ω (смотри 4.9).

К кинематическому соотношению 4.9 следует присоединить динамическое соотношение, выведенное из следующих соображений:

Объём воды шириной b в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объём, начинают своё движение на правом краю с нулевой скоростью , а на левом краю имеют скорости ω (рисунок 4.4). Из области внутри вала берётся произвольная частица воды. Время, за которое над этой частицей проходит вал, равно

;

поэтому ускорение частицы

. (4.10)