Термодинамические основы термоупругости (стр. 3 из 11)

В работах С.А. Калоерова, Ю.С. Антонова [49] – [51] предложена методика решения задач теплопроводности и термоупругости для конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластинок c отверстиями и трещинами. Решение построено на использовании теории функции комплексного переменного и удовлетворении граничным условиям методом наименьших квадратов.

1 Термодинамические основы термоупругости

1.1 Термоупругость

Основное уравнение термоупругости. При термическом расширении изотропное тело деформируется таким образом, что компоненты деформации

отнесенные к системе прямоугольных осей х1 x2 x3 определяются выражением (1.1.1)

, (1.1.1)

Допускается, что

достаточно мало для того, чтобы термические свойства тела оставались постоянными на том отрезке времени, который нас интересует. Суммарная деформация тела выражается через компоненты вектора перемещения u1 следующим уравнением:

(1.1.2)

где

обозначает частную производную . Эта суммарная деформация состоит из термической деформации и упругой деформации, компоненты которой определяются соотношением (1.1.1)

, (1.1.3)

где τij — компоненты тензора напряжений; величина

θ = τij(1.1.4)

является суммой главных напряжений; λ и μ — упругие постоянные Ламе для тела. Подставляя соотношения (1.1.1) — (1.1.3) — в уравнение

получим тензорное уравнение

, (1.1.5)

Решая это тензорное уравнение относительно компонентов тензора напряжений, найдем

(1.1.6)

где

(1.1.7)

обозначает расширение тела и

γ = α(3λ + 2μ). (1.1.8)

Физический закон, выраженный тензорным соотношением (1.1.6), называется законом Дюамеля — Неймана

Термодинамическими переменными, описывающими состояние упругого тела, являются компоненты деформации (1.1.2) и абсолютная температура Т +

.

Используя методы термодинамики обратимых процессов, Био показал, что энтропия s единицы объема тела определяется соотношением

(1.1.9)

где аддитивная постоянная, входящая в определение энтропии, была выбрана таким образом, что энтропия была равна нулю в начальном состоянии. В этом уравнении ρ — плотность тела, с — удельная теплоемкость единицы массы (принимаемая независимой от температуры вблизи равновесной температуры T), и γ определяется формулой (1.1.8). Если

мало по сравнению с Т то соотношение (1.1.9) сводится к простому выражению для энтропии единицы объема

(1.1.10)

Таким образом, количество тепла, поглощаемое единицей объема в процессе малых деформаций и малых изменении температуры, определяется формулой

h=Ts = ρс

+ γTΔ(1.1.11)

Из теории теплопроводности в твердых телах известно, что изменение температуры внутри изотропного тела подчиняется уравнению

(1.1.12)

k— коэффициент теплопроводности тела;

q — количество тепла;

выделяемого в единице объема тела. Подставляя выражение (1.1.10) в соотношение (1.1.11), найдем

(1.1.13)

Если ввести коэффициент температуропроводности

,

то последнее уравнение можно записать в форме

(1.1.14) где

,

Для того чтобы дополнить систему основных уравнений, присоединим к ней уравнения движения в виде

, (1.1.15)

где (F1 , F2 ,F3) обозначает массовую силу в точке (х1, х2 , х3) и — i-й компонент ускорения д2и/дt2 бес конечно малого элемента, сосредоточенного около этой точки.

Система шестнадцати уравнений (1.1.2), (1.1.6), (1.1.14) и (1.1.15) вместе с соответствующими граничными условиями достаточна для определения изменения температуры и компонентой напряжений и перемещения в случае» когда источники тепла и массовые силы заданы.

Безразмерная форма уравнений. Основные уравнения термоупругости удобно записать в безразмерной форме. Если характерный линейный размер

принять в качестве единицы длины» время τ в качестве единицы времени, температуру начала отсчета T за единицу измерения температуры и модуль сдвига μ принять в качестве единицы измерения, напряжения то в результате найдем, что уравнения (1.1.6), (1.1.14) и (1.1.15) примут соответственно следующую безразмерную форму:

, (1.1.16)

(1.1.17)

где

,

обозначают новые функции и

, , , .

При определении а величина

была заменена скоростью с2 распространения S-волн в теле. Величинa представляет квадрат отношения скорости Р – волн к скорости S – воли. В зависимости от коэффициента Пуассона величину β можно записать в виде .

Задачи об установившихся состояниях. Если массовые силы и источники тепла не зависят отвременииесли поверхностные нагрузки являются статическими нагрузками, то тогда основная система уравнений (1.1.16), (1.1.14) и (1.1.15) примет вид

(1.1.19)

, (1.1.20)

(1.1.21)

Подставив в уравнение (1.1.19) модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона υ, получим следующее уравнение:

(1.1.22)

Для упругого тела, свободного от массовых сил, полагая Fi = 0 и используя формулу

найдем, подставляя соотношение (1.1.22) в уравнение (1.1.21):

(1.1.23)

Для того чтобы решить это уравнение, Гудьер вводит термоупругий потенциал φ, с помощью которого вектор перемещения u1, u2, и3 определяется в виде

(1.1.24)

Подставляя выражение (1.1.24) в уравнение (1.1.23), получаем условие, накладываемое на φ:

Таким образом, если выбрать φ так, что

, (1.1.25)

где

то вектор перемещения, определяемый уравнением (1.1.24), является решением уравнений, описывающих установившийся процесс термоупругости.Уравнение (1.1.25) в точности соответствует уравнению Пуассона и хорошо известно, что частный интеграл этого уравнения имеет вид