Представления общего решения. Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.2.12) и (1.2.13) при начальных и граничных условиях.
При объемной силе
= grad П + rot (1.3.1)известно следующее представление общего решения уравнений (1.2.12) и (1.2.13):
и =grad
+ rot (1.3.2) □ ,в котором скалярная Ф и векторная
функции удовлетворяют уравнениям□
□ ; ( 1.3.3)□
(1.3.4) где□
= □ = (n= 1,2);(1.3.5)ε — параметр связанности, имеющий значение;
с1 и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения (см. выражения (1.3.6)). При ε = 0 и П = 0 уравнение (1.3.3) на основании уравнения (1.3.31) переходит в (1.3.7)
, (1.3.6)□
(1.3.7)а при
= 0 уравнение (1.3.4) переходит в уравнение (1.3.8) динамической задачи термоупругости.□
(1.3.8)Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [52] (на случай связанной задачи термоупругости):
= grad + □ - graddiv (1.3.9) □где функция
и удовлетворяют уравнениям□
□ □ div (1.3.10)□
□ (1.3.11)Как и в динамической задаче термоупругости, представление (1.3.9) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (1.3.2). Действительно, если в представление (1.3.9) и уравнение (1.3.10) внести выражения
, div (1.3.12)в которых
— частное решение неоднородного уравнения (1.3.11), и - решения уравнений□
, □ (1.3.13)Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и
в представлении (1.3.9) возникают Ф' и , а в уравнении (1.3.10) Ф' и . На основании второго уравнения (1.3.13) и тождестваgraddiv
= + rotrotпри подстановке — rot
такое представления при = 0, П = 0, X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (1.3.2).Вводя в представление (1.3.9) и в уравнения (1.3.10) и (1.3.11) новые функции
div , □ (1.3.14)где r— радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф Папковича на случай связанной задачи термоупругости (1.3.14)
grad grad ; (1.3.15) □ ,в котором функция Ф,
, В0 удовлетворяют уравнениям□
□ □ (1.3.16)□
, □ (1.3.17)