За отриманої з вищеописаної системи інтегральних рівнянь спектральної густини потоку енергії ефективного випромінювання на внутрішній стороні поверхні тіла знаходимо (з використанням закону Бугера) спектральну інтенсивність випромінювання в тілі. Тепловиділення отримуємо шляхом інтегрування функції , домноженої на спектральний коефіцієнт поглинання матеріалу тіла, по тілесному куту та по довжині хвилі на всій спектральній осі.
Температурне поле в частково прозорому тілі описуємо рівнянням теплопровідності (в якому в якості питомої потужності неперервно розподілених теплових джерел використано тепловиділення ), тепловими початковою та крайовою умовами. На поверхні порожнини приймаємо одну з наступних крайових умов: теплоізоляції – за вакуумованої порожнини; конвективного теплообміну із газовим середовищем в порожнині – за газонаповненої порожнини. Випадок герметизованої газонаповненої порожнини розглянуто в припущенні миттєвого поширення теплової енергії та однорідності температури в порожнині. Сформульовані відповідні балансові залежності.
Напруження в тілі визначаються співвідношеннями квазістатичної термопружності за відомої температури при крайових умовах, які враховують відповідне силове навантаження на його поверхні та поверхні порожнин. У випадку газонаповненої герметизованої порожнини отримано крайову умову на поверхні порожнини, в якій враховано дію тиску середовища в порожнині, зумовлену його нагріванням (в наближенні ідеального газу).
В третьому розділі на основі сформульованих вище співвідношень, що описують зумовлені тепловим опроміненням термомеханічні процеси в частково прозорих тілах з порожнинами, зроблено постановки відповідних одновимірних за просторовими координатами задач про знаходження тепловиділень, температури та напружень в тілах канонічної конфігурації (шар, порожнисті циліндр та куля) за теплового опромінення, створюваного нагрітими поверхнями.
У випадку частково прозорого шару розглянуто наявність відбивача променевої енергії. Поглинута неохолоджуваним відбивачем частина енергії випромінювання спричиняє його нагрів і додаткове опромінення частково прозорого шару за рахунок власного випромінювання. В цьому випадку отримуємо взаємозв’язану через теплові нелінійні крайові умови на основах непрозорого шару-відбивача задачу про визначення спектральної густини потоків енергії ефективного випромінювання в частково прозорому шарі та температурного поля в непрозорому шарі-відбивачі з подальшим знаходженням тепловиділень, температури та напружень в частково прозорому шарі. Теплові крайові умови на основах шару – неохолоджуваного відбивача включають як кондуктивну та конвективну складові потоку енергії, так і поглинуту та випромінену поверхнею променеву енергію. Основи шару вільні від силового навантаження, а його краї (на безмежності) вільні або жорстко защемлені.
Сформульовано задачі про визначення термонапруженого стану частково прозорого порожнистого циліндра за дії теплового випромінювання: розглянуто випадки розміщення джерел випромінювання (випромінюючої нагрітої поверхні) як зовні циліндра так і в його порожнині (за наявності відбивачів променевої енергії і без них). При цьому в теплових крайових умовах на поверхні газонаповненої порожнини враховано теплообмін з середовищем в порожнині та його нагрів, а в механічних крайових умовах – дію атмосферного тиску на поверхню циліндра, тиск газового середовища в порожнині (за герметизованості порожнини) та відсутність силового навантаження на поверхні порожнини (у випадку її вакуумованості).
Задачі для порожнистої кулі сформульовано за зовнішнього опромінювача як з відбиваючою енергію випромінювання сферичною поверхнею в порожнині, так і без неї. Враховано нагрів середовища (газу) в порожнині кулі та його тиск на поверхню порожнини. Розглянуто випромінюючу сферичну поверхню в порожнині кулі з зовнішнім відбивачем та без нього.
При постановці задач спектральна густина потоку енергії власного випромінювання поверхні випромінювача визначається спектральною густиною потоку енергії випромінювання абсолютно чорного тіла, домноженою на залежний від температури ступінь чорноти (спектральний чи інтегральний) матеріалу випромінюючої поверхні у випадку використання в якості джерел випромінювання нагрітих тіл (ламп розжарювання, нагрітих поверхонь і т.п.) або отриманими експериментально та інтерпольованими за допомогою кусково-лінійної апроксимації значеннями спектральної густини потоку енергії випромінювання у випадку джерела теплового випромінювання довільного спектрального складу.
В розглядуваних задачах на кожній стороні поверхні густини потоків енергії випромінювання є постійними. При цьому сформульована в другому розділі система інтегральних рівнянь зведена (шляхом винесення шуканих функцій з-під знаку інтеграла) до системи лінійних алгебраїчних рівнянь на спектральні густини потоків енергії ефективного випромінювання. Наявність відбивача у випромінюючій системі спричиняє зростання кількості як ключових функцій (за рахунок невідомої на його поверхні спектральної густини потоку енергії ефективного випромінювання), так і рівнянь системи.
Для окреслення областей інтегрування в інтегралах, які входять в коефіцієнти систем наявних лінійних алгебраїчних рівнянь, з кожною точкою поверхні розділу середовищ пов’язано локальний базис (що визначається геометрією тіла та розташуванням точки) та кути, відлік яких здійснюється відносно осей цього базису. Тоді, переходячи від інтегрування по тілесному куту до інтегрування по плоскому куту, коефіцієнти при невідомих величинах в рівняннях виражено через подвійні інтеграли. Аналогічним чином для кожної точки тіла інтеграли, що входять у вирази для тепловиділень (наведені в другому розділі), зведено до потрійних інтегралів.
У четвертому розділі запропоновано методику розв’язування відповідних одновимірних за просторовою координатою складових задач для розглядуваних у третьому розділі частково прозорих тіл канонічної конфігурації (шар, порожнистий циліндр, порожниста куля). Вона грунтується на методах безпосереднього інтегрування та скінченних різниць з використанням неявної різницевої схеми та методу прогонки при розв’язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь (за визначення поля температури). При цьому при знаходження параметрів поля випромінювання і тепловиділень враховано, що основна частина енергії теплового випромінювання нагрітого тіла припадає на скінченний спектральний інтервал. На підставі цього спектральну вісь покрито нерівномірною сіткою, вибір вузлів якої визначається діапазонами довжин хвиль, в яких задані (знайдені експериментально чи іншим способом) значення радіаційних характеристик матеріалів та поверхонь (коефіцієнт поглинання, ступінь чорноти, коефіцієнти відбивання). Досліджено особливості термомеханічної поведінки шару, порожнистих циліндра та кулі в залежності від способу опису радіаційних властивостей поверхонь (спектральними чи інтегральними характеристиками), наявності відбивачів, газового властивостей середовища в порожнинах.
Для оцінки впливу відбивача енергії випромінювання на термонапружений стан тіла досліджено механічну поведінку шару із скла IR-11 товщиною м опроміненюваного зі сторони основи вольфрамовим випромінювачем за температури . Відбивач енергії випромінювання розміщений зі сторони основи на віддалі ( ) до скляного шару. Матеріали відбивача – вольфрам і алюміній (з полірованою поверхнею). Радіаційні властивості поверхонь випромінювача та відбивача враховано спектральними ступенями чорноти. У випадку охолоджуваного відбивача (температура якого підтримується на рівні початкової) у теплообміні випромінювання враховано тільки відбивання енергії випромінювання поверхнею . Для неохолоджуваного відбивача враховано і його власне випромінювання внаслідок нагріву. В цьому випадку відбивач (як і скляний шар) знаходиться в умовах конвективноготеплообміну із зовнішнімсередовищем, температура якого .
На рис.1 показано розподіл тепловиділень в скляному шарі по товщинній координаті (суцільні лінії ‑ неохолоджуваний вольфрамовий відбивач, штрихові – охолоджуваний вольфрамий відбивач та пунктирні ‑ за відсутності відбивача). Наявність відбивача підвищує рівень тепловиділень в тілі за рахунок відбитої частини енергії випромінювання, а у випадку неохолоджуваного відбивача тепловиділення значно більші внаслідок додатково опромінення шару власним випромінюванням відбивача. На рис.2 подано графіки часових залежностей тепловиділень на основах та скляного шару для двох типів відбивача: з вольфраму (суцільні лінії, час нагріву с) та з алюмінію з полірованою поверхнею (штрих-пунктирні лінії, час нагріву с).
Часові залежності температури поверхні ( ) відбивача для вищевикладених випадків наведено на рис.3, а розподіли за товщинною координатою температури в скляному шарі в момент часу на рис.4 (суцільна лінія ‑ вольфрамовий відбивач, що нагрівається, штрих-пунктирна – охолоджуваний вольфрамовий відбивач та пунктирна – без відбивача). Відповідні розподіли напружень подано на рис.5. З проведеного аналізу випливає, що за використання відбивачів променевої енергії істотно підвищується температура нагріву скляного шару (особливо за нагріву відбивача) і суттєво понижується рівень напружень (розтягуючі напруження на основі шару зменшились на 85%).
З метою оцінки способу врахування радіаційних властивостей випромінювача (спектральтними чи інтегральними характеристиками) розглянуто порожнистий циліндр ( , ) із скла IR-11 за теплового опромінення. Джерелом випромінювання є нагрітий до температури вольфрамовий випромінювач циліндричної форми з поверхнею ( ) в порожнині. Радіаційні властивості випромінювача при обчисленні його власного випромінювання враховуються спектральним або інтегральним ступенями чорноти. Циліндр знаходиться в умовах конвективного теплообміну із зовнішнім середовищем, температура якого рівна . На рис. 6 наведено розподіли за товщинною координатою тепловиділень (рис.6а), температури (рис.6б) та напружень (рис.6в) в циліндрі в момент часу за двох способів врахування радіаційних властивостей випромінювача: спектральним (суцільні лінії) та інтегральним (штрихові лінії) ступенями чорноти при температурах випромінювача 2000 К (лінії 1) та 3000 К (лінії 2). Видно, що розходження в результатах за двох способів врахування радіаційних властивостей матеріалу випромінювача зростає зі збільшенням температури випромінювача (при максимальне значення такого розходження для напружень (розтягуючих і стискаючих) складає 42%).