Технологія одержання квантових точок (стр. 2 из 6)

Коли розмір поліатомної системи стає ще більшим, обчислення її електронної структури за допомогою комбінації атомних орбіталей стає неможливим. Але спрощення виникають, якщо досліджувана система є періодичним нескінченним кристалом. Електронна структура кристалічних твердих тіл може бути описана з використанням періодичних комбінацій атомних орбіталей (функції Блоха). У цій моделі використовується доскональна трансляційна симетрія кристалічної структури та нескінченні розміри (періодичні граничні умови); внеском від поверхні кристалу можна знехтувати. Електрони описуються суперпозицією плоских хвиль, поширених по всьому твердому тілу. На відміну від атомів та молекул, енергетична структура твердого тіла вже складається не з дискретних енергетичних рівнів, а з широких енергетичних смуг (зон), як показано на рис. 1.1.

Кожна зона може бути заповнена тільки обмеженим числом носіїв заряду. В дуже малих кристалах нанометрових розмірів (так званих нанокристалах) наближення трансляційної симетрії та нескінченного розміру кристалу вже є неприйнятними і, таким чином, ці системи не можуть описуватися такою ж моделлю, яка застосовується для твердого тіла. Ми можемо вважати, що дійсно електронна структура нанокристалу повинна бути проміжною між дискретними рівнями атомної системи та зонною структурою твердого тіла (як це показано на рис. 1.1). Як видно з рис. 1.1, енергетичні рівні нанокристалу дискретні, їх густина є більшою, а відстань між ними є меншою, ніж для відповідних рівнів одного атому або малого атомного кластеру. Завдяки дискретним енергетичним рівням такі структури називають квантовими точками. Концепцію енергетичних зон та забороненої зони все ще можна використовувати. Найвищі зайняті атомні рівні атомних (або іонних) груп взаємодіють одні з іншими, утворюючи валентну зону нанокристалу. Аналогічно найнижчі незайняті рівні комбінуються, утворюючи валентну зону нанокристалу. Енергетичний проміжок (щілина) між валентною зоною та зоною провідності дає заборонену зону.

Рис. 1.1. Енергетичні рівні електронів в залежності від числа зв’язаних атомів.

При зв’язуванні великої кількості атомів дискретні рівні атомних орбіталей зливаються в енергетичні зони (тут показаний випадок напівпровідникового матеріалу). Таким чином, напівпровідникові нанокристали (квантові точки) можуть розглядатися як гібрид між малими молекулами та масивним матеріалом.

Розглянемо металеву квантову точку. Енергетичне розділення рівнів біля рівня Фермі є грубо пропорційне

, де - число електронів у квантовій точці. При порядку кількох еВ, та близькому до 10 атом, заборонена зона металевої квантової точки стає спостережуваною тільки при дуже низьких температурах. У випадку напівпровідникових квантових точок заборонена зона є більшою і її ефекти можуть спостерігатися при кімнатній температурі. Залежна від розмірів флуоресцентна емісія квантових точок у видимій області спектру є наглядною ілюстрацією присутності залежної від розмірів величини забороненої зони [6].

1.2 Енергетичні рівні напівпровідникової квантової точки

Нижче детальніше розглянемо нульвимірне тверде тіло. Оскільки багато квантових ефектів краще виявляються у напівпровідниках порівняно з металами, розгляд буде сфокусовано на напівпровідниковому матеріалі. Модель вільного газу електронів не включає „природу” твердого тіла. Але з макроскопічної точки зору будемо розрізняти метали, напівпровідники та ізолятори. Модель газу вільних електронів досить добре описує випадок електронів у зоні провідності металів. З іншого боку, електрони в ізолюючому матеріалі погано описуються моделлю вільних електронів. Для того, щоб розширити модель вільних електронів на напівпровідникові матеріали було введено поняття нового носія заряду – дірки. Якщо один електрон з валентної зони збуджується у зону провідності, то „порожній” електронний стан у валентній зоні називають діркою. Деякі основні властивості напівпровідникових матеріалів можуть бути описані моделлю вільних електронів і вільних дірок. Енергетичні смуги для електронів та дірок розділені забороненою зоною (енергетичною щілиною). Дисперсійні залежності для енергії електронів та дірок у напівпровіднику є параболічними у першому наближенні. Ця апроксимація справедлива тільки для електронів (дірок), що займають рівні, які знаходяться на дні зони провідності та вершині валентної зони. Кожна парабола є квазінеперервним набором електронних (діркових) станів вздовж даного напрямку у

просторі. Найнижча незайнята смуга енергії та найвища зайнята смуга енергії розділені забороненою зоною , як показано на рис. 1.2. Ширина забороненої зона у масивному напівпровіднику може становити від частки еВ до декількох еВ [7].

Слід очікувати, що енергетичні дисперсійні співвідношення все ще параболічні у квантовій точці. Але, оскільки у точці можуть існувати тільки дискретні енергетичні рівні, кожна з оригінальних параболічних смуг (характерних для масивного тіла) тут фрагментується в комбінацію точок.

, (1.1)

Рис. 1.2.

Вільним носіям у твердому тілі властива параболічна дисперсійна залежність

~ . У напівпровіднику енергетичні смуги для вільних електронів та дірок розділені енергетичною щілиною (забороненою зоною) . У масивному напівпровіднику (рис.1.2 зліва) стани є квазінеперервними, кожна точка в енергетичних смугах представляє індивідуальний стан. У квантовій точці заряди обмежені малим об’ємом. Ця ситуація може бути описана як така, в якій носій заряду поміщено у потенціальну яму шириною та нескінченно високими стінками. Тут ширина потенціальної ями відповідає діаметру квантової точки. Єдині дозволені стани – це стани, в яких хвильова функція зникає на границях ями. Це спричинює дискретні енергетичні рівні (рис.1.2 праворуч). Енергетична заборонена зона між найнижчими можливими рівнями енергій для електронів та дірок є більшою, ніж для масивного матеріалу.

Найнижча енергія для електрону у одновимірній потенціальній ямі є тут

- ширина ями. У квантовій точці носії заряду обмежені по всіх трьох напрямках, і система може бути описана як нескінченна 3-вимірна потенціальна яма. Потенціальна енергія є нулем всюди всередині ями, але є нескінченно великою на її стінках. Цю яму ще називають „ящиком”. Найпростішими формами тривимірної ями (ящика) можуть бути, наприклад, сфера або куб. Якщо форма кубічна, то рівняння Шредінгера може бути розв'язане незалежно для кожного з трансляційних ступенів свободи, і загальна енергія нульової точки є просто сумою індивідуальних нульових енергій для кожного ступеня свободи:

. (1.2)

Якщо ящик є сферою діаметром

, рівняння Шредінгера може бути розв'язане шляхом введення сферичних координат та поділу рівняння на радіальну частину і частину, що містить кутовий момент. Найнижчий енергетичний рівень (з кутовим моментом = 0) тоді буде рівним

(1.3)

Ефект квантового обмеження знову значний. Більш обмежені носії заряду призводять до більшого розділення між індивідуальними рівнями енергії, а також до більших значень нульової енергії. Якщо носії поміщені у сферу діаметром

, то їх нульова енергія є вищою, ніж для носіїв, поміщених у куб з ребром ( , тому що така сфера має менший об’єм ( ), ніж куб – ( ).