Фазовая скорость, групповая скорость и скорость переноса энергии (стр. 1 из 2)
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УДК 621.372
Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В.
Фазовая скорость, групповая скорость
И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
(работа депонирована в ВИНИТИ)
ВОРОНЕЖ 2002
Введение
Движение электромагнитного поля, созданного системой зарядов или электромагнитной волной, связано с переносом электромагнитной энергии и с перемещением вектора напряженности этого поля. Как известно, напряженность электрического поля числено равна силе, которая действует на единичный положительный точечный заряд, покоящийся в системе отсчета наблюдателя. Напряженность электрического поля перемещается с фазовой скоростью. Поэтому фазовую скорость мы можем назвать скоростью перемещения силовой характеристики этого поля.
Скорость переноса энергии характеризует движение энергии электрического или магнитного полей. Необходимость введения этого понятия возникла из-за широкого использования в радиоэлектронике линий передач энергии и информации с дисперсионными свойствами. Это волноводы, замедляющие структуры, которые используются в электронных приборах СВЧ, в антеннах поверхностных волн, ускорителях и т.д.
В физике используется понятие групповой скорости. Групповая скорость это скорость перемещения волнового пакета, т.е. пакета, образованного группой волн. Поскольку электромагнитная энергия сосредоточена в этом пакете, групповая скорость стала интерпретироваться как скорость переноса энергии и начала играть ее роль. Однако применение понятия групповой скорости к монохроматической волне приводит к парадоксам. Мы начнем анализ с изложения доказательства, в котором вводится это понятие.
1.Групповая скорость.
Рассмотрим один из вариантов традиционного доказательства, где появляется понятие групповой скорости (см. [1] и т.д.). Пусть на входе линии передачи с дисперсией действует радиосигнал с узким cпектромS(iW).
(1.1)где: wо - несущая частота радиосигнала, wo>>W;
(1.2)
- комплексная амплитуда (огибающая радиоимпульса).
Допустим, что линия без потерь имеет следующий коэффициент передачи
(1.3)где: g(w) = w/ vp- постоянная распространения; vp – фазовая скорость волны;
l - длина лини; w=wo + W.
В этом случае сигнал на выходе линии передачи энергии будет равен:
(1.4) 
Рис. 1
Учитывая, что сигнал узкополосный, разложим g(w) в ряд по степенямWв окрестности несущей частотыwо. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, запишем сигнал на выходе линии передачи энергии.
(1.5)
Как видно из выражения (1.5), огибающая узкополосного сигнала сохраняет свою форму, но запаздывает на некоторое время. Она как бы перемещается со скоростью vg.
(1.6)Эта скорость получила название групповой скорости.
Таким образом, групповая скорость есть скорость перемещения волнового пакета. Поскольку энергия радиосигнала сосредоточена в этом волновом пакете, групповую скорость стали отождествлять со скоростью переноса энергии волной.
2. Парадокс.
Кажется, что изложенный выше подход согласуется со здравым смыслом. Однако, в линиях с аномальной дисперсией возникают парадоксы. Напомним классификацию которая существует в настоящее время.
а) Нормальная (положительная) дисперсия имеет место, если фазовая и групповая скорости имеют одинаковое направление (произведение vpvg>0).
б) Аномальная (отрицательная) дисперсия имеет место, если фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны (произведение vpvg<0). Это означает, что фаза волны и волновой пакет движутся в противоположных направлениях.
Допустим, что в начале линии передачи с аномальной дисперсией расположен генератор монохроматической волны (cм. рис. 1). Имеется два варианта объяснения. Однако, любой из двух вариантов не дает удовлетворительного объяснения парадокса.
Рис. 2.
Вариант 1. Пусть фазовая скорость волны направлена от генератора вдоль оси х (запаздывающий потенциал). Мы считаем, что групповая скорость это скорость переноса энергии. Следовательно, энергия, которую переносит волна, движется к генератору (?!).
Вариант 2. Допустим, что групповая скорость направлена от генератора вдоль оси х. Теперь фаза волны движется к источнику (?!). Мы имеем дело с опережающим потенциалом и принцип причинности нарушается.
Более того, в линиях передачи с аномальной дисперсией имеет место еще одно противоречие. Вектор Пойнтинга S и векторvg имеют противоположные направления. Этот важный факт остался незамеченным исследователями.
3. Вектор Пойнтинга.
Чтобы понять причины парадокса, рассмотрим электромагнитную волну ТЕМ типа, которая распространяется в бесконечном диэлектрике, обладающим дисперсионными свойствами. Для такой волны справедлива теорема Пойнтинга. Запишем ее в комплексной форме:
(3.1)Этот результат не зависит от характера дисперсии линии передачи энергии.
Допустим теперь, что в однородной и изотропной среде распространяются две волны одного типа с очень близкими частотами и одинаковой поляризацией.
(3.2)где:
.Используя выражение (3.2), запишем уравнение (3.1) для суммы этих волн.
(3.3)где
.Опираясь на принцип суперпозиции, можно утверждать, что соотношение (3.1) должно выполняться для каждой волны в отдельности.
(3.4)Поток энергии (вектор Пойнтинга), который переносится каждой волной, всегда направлен от источника независимо от дисперсионных свойств среды. Легко видеть, что оставшиеся члены выражения (3.3) являются обычными интерференционными членами. Поскольку мы рассматриваем волны одного типа с очень близкими частотами, амплитуды электрических и магнитных полей этих волн можно считать пропорциональными.
(3.5)гдеl - комплексный коэффициент пропорциональности.
Учитывая (3.4) и (3.5), преобразуем выражение (3.3) и запишем его в реальной форме.
(3.6)Плотность потока и плотность энергии равны
; 
(3.7)Если
<0, тогда плотность энергии и плотность потока отрицательны и обратно. Если 
, тогда волновой пакет движется вдоль оси х , а при vg<0 - в обратном направлении. Этот факт иллюстрирует интерференционную сущность амплитуды биений, когда в диэлектрике распространяется группа волн в одном направлении. С другой стороны, энергия, которую переносит каждая волна, не зависит от количества волн и от дисперсионных свойств среды (см. выражение (3.4)).Мы назовем интерференционную картину на плоскости, которая перпендикулярна направлению распространения волн, интерференционной картиной первого рода. Интерференционная картина, которая возникает вдоль направления распространения волн, может быть названа интерференционной картиной второго рода. Групповая скорость есть скорость распространения интерференционной картины второго рода. Однако, эта скорость отнюдь не является скоростью переноса энергии. Скорость перемещения интерференционной картины второго рода равна (см. выражение (2.5)):
(3.8)Итак, мы выяснили физический смысл групповой скорости как скорости перемещения интерференционной картины, которая образована группой волн. Вопрос о скорости переноса энергии волной мы рассмотрим ниже. Полученные результаты имеют важное теоретическое значение для квантовых теорий, оптики и других дисциплин. Однако обсуждение этой проблемы достойно специальной статьи. Результаты также имеют прямое отношение к прикладным дисциплинам, например, к теории СВЧ генераторов типа О.
4. Проблемы определения скорости переноса энергии.
Мы будем определять скорость переноса энергии, опираясь на классическую концепцию Умова [2]. Согласно этой концепции движение энергии со скоростьюveвсегда создает поток энергии.
(4.1)